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Objetivo del tema: Aplicar la integral definida y el Teorema Fundamental del Cálculo para resolver problemas concretos de área bajo una curva, área entre dos curvas, volumen de sólidos de revolución y análisis de movimiento de partículas.
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Cálculo de área con la integral definida

La integral definida es la herramienta exacta para medir áreas de regiones con bordes curvos, que no tienen fórmulas geométricas simples como los rectángulos o triángulos. Cualquier área acotada por una curva y el eje x se calcula con una integral definida.

El área de la región comprendida entre la curva \ f(x) \\geq 0 \, el eje \ x \, y las rectas \ x = a \ y \ x = b \ es:

\\[\[ A = \∫a\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \\]

Ejemplo: Área bajo \ f(x) = 3x^2 \ en \ [0, 2] \:

\\[\[ A = \∫0\int_0^2 3x^2 \, dx = \\left[ x^3 \\right]_0^2 = (2)^3 - (0)^3 = 8 - 0 = 8 \\]

Si f(x) toma valores negativos en [a, b], la integral mide el área NETA (las partes bajo el eje x se cuentan con signo negativo). Para el área total siempre positiva, usa el valor absoluto: ∫|f(x)| dx.

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