Objetivo del tema: Calcular permutaciones y variaciones (con y sin repetición) para resolver problemas de conteo donde el orden de los elementos importa, distinguiendo correctamente cuándo aplicar cada fórmula.

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Factorial $(n!)$ : la base de todo el conteo ordenado

Antes de hablar de permutaciones, necesitamos dominar el factorial. El factorial de un número entero positivo $n$ es el producto de todos los enteros desde 1 hasta $n$ .

Definición:

$\[$ n! = n $\times$ (n-1) $\times$ (n-2) $\times$ $\cdots$ $\times$ 2 $\times$ 1 $\]$

Casos importantes:

$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
$0! = 1$ (por definición matemática, muy importante recordarlo).

¿Por qué el factorial? El factorial

n!

cuenta de cuántas formas distintas se pueden ordenar

n

objetos diferentes. Por ejemplo, hay

3! = 6

formas de ordenar las letras A, B, C: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Truco para simplificar factoriales:

$\[$ $\frac{7!}{5!}$ = $\frac{7 \times 6 \times 5!}{5!}$ = 7 $\times$ 6 = 42 $\]$

Siempre que veas un cociente de factoriales, cancela los factores comunes antes de multiplicar. Esto evita trabajar con números enormes.

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