Objetivo del tema: Distinguir magnitudes escalares de vectoriales, reconocer las propiedades de un vector y el tipo de sistema que forman, escribir un vector con los vectores unitarios $ \hat{i},\hat{j},\hat{k} $, sumar sistemas de vectores por los métodos gráfico y analítico, y resolver el producto de un escalar por un vector, el producto escalar y el producto vectorial.

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De la flecha a la forma cartesiana: $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$

Una magnitud escalar queda definida con un número y su unidad; una vectorial necesita además dirección y sentido. En Física para CMB esta distinción se usa todo el tiempo: la presión de un fluido y el gasto son escalares, pero la fuerza que ejerce un músculo y la velocidad de la sangre en una arteria son vectores.

Tipo	Qué necesita	Ejemplos del temario de CMB
Escalar	Número + unidad	Masa, tiempo, densidad, peso específico, presión, gasto, calor, temperatura, trabajo, frecuencia de una onda
Vectorial	Magnitud + dirección + sentido	Desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza muscular, peso, empuje de Arquímedes, momento de una fuerza

Todo vector tiene cuatro elementos: MAGNITUD o módulo (el largo de la flecha, siempre positivo), DIRECCIÓN (la recta sobre la que actúa, o el ángulo respecto a un eje), SENTIDO (hacia dónde apunta la punta) y PUNTO DE APLICACIÓN (dónde actúa sobre el cuerpo).
Dos vectores son IGUALES si coinciden en magnitud, dirección y sentido, aunque estén aplicados en puntos distintos.
El vector OPUESTO $-\vec{A}$ tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido contrario. Por eso restar es sumar el opuesto: $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$ .
La suma de vectores es conmutativa y asociativa: el orden en que los sumes no cambia la resultante.

Para operar con vectores sin dibujarlos se usan los vectores unitarios: $\hat{i}$ apunta sobre el eje $x$ , $\hat{j}$ sobre el eje $y$ y $\hat{k}$ sobre el eje $z$ . Los tres miden exactamente 1 y no tienen unidades: sólo marcan la dirección. Así, cualquier vector se escribe como la suma de sus componentes.

\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}\qquad A_x=A\cos\theta,\quad A_y=A\,\mathrm{sen}\,\theta

|\vec{A}|=\sqrt{A_x^{2}+A_y^{2}+A_z^{2}}\qquad \hat{u}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}

Ejemplo. Una fuerza de 50 N aplicada a 37° sobre la horizontal se escribe $\vec{F}=50\cos 37^\circ\,\hat{i}+50\,\mathrm{sen}\,37^\circ\,\hat{j}=(40\hat{i}+30\hat{j})\ \mathrm{N}$ . Su magnitud se recupera con Pitágoras: $\sqrt{40^{2}+30^{2}}=50\ \mathrm{N}$ , y su vector unitario es $\hat{u}=0.8\hat{i}+0.6\hat{j}$ , que efectivamente mide 1.

El vector unitario se obtiene dividiendo entre la MAGNITUD, no entre la suma de las componentes. Dividir

40\hat{i}+30\hat{j}

entre

40+30=70

es el error clásico: da un vector que no mide 1.

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