Sucesiones numéricas: aritméticas y geométricas
Una sucesión es una lista ordenada de números. Cada número es un término y aₙ es el término que ocupa el lugar n (a₁ es el primero, a₂ el segundo…). En el examen tienes poco más de un minuto por reactivo, así que el ataque siempre es el mismo: primero resta términos consecutivos, luego divídelos.
- Resta términos consecutivos. Si la resta siempre da lo mismo, la sucesión es ARITMÉTICA y ese número es la diferencia d.
- Si la resta no es constante, divide cada término entre el anterior. Si el cociente siempre da lo mismo, es GEOMÉTRICA y ese número es la razón r.
- Si ninguna de las dos es constante, resta otra vez (segundas diferencias) o compara con n², 2ⁿ, o separa numerador y denominador.
| Tipo | Cómo avanza | Término general | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Aritmética | suma una diferencia d fija | aₙ = a₁ + (n − 1)d | 4, 9, 14, 19, … con d = 5 |
| Geométrica | multiplica por una razón r fija | aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ | 5, −10, 20, −40, … con r = −2 |
| Otra (cuadrática, de fracciones…) | ni la resta ni el cociente son fijos | se arma comparando con n, n², 2ⁿ | 1/2, 2/3, 3/4, … es n/(n + 1) |
Ejemplo resuelto. Sucesión 4, 9, 14, 19, … ¿cuál es el término 12?
Paso 1: 9 − 4 = 5 y 14 − 9 = 5, así que es aritmética con d = 5.
Paso 2: aₙ = 4 + (n − 1)(5) = 5n − 1.
Paso 3: a₁₂ = 5(12) − 1 = 59.
Comprobación obligatoria: con n = 1 la fórmula debe devolver el primer término → 5(1) − 1 = 4 ✓
Ojo con lo que te preguntan. Si el reactivo pide el TOTAL acumulado y no un término suelto, eso es la suma Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. En una aritmética se calcula con Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2, que es el promedio del primero y el último multiplicado por cuántos términos hay. Aquí: S₁₂ = (4 + 59)(12)/2 = 378. Palabras que delatan una suma: total, en total, cuántos lleva, acumulado.
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