Objetivo del tema: Clasificar un número real en su conjunto, aplicar las propiedades y la jerarquía de operaciones al operar con signos y fracciones, y resolver problemas de razones, proporciones y porcentajes.
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Qué es un número real y en qué conjunto cae

Todo número que puedes ubicar en la recta numérica es un número real. Los reales se parten en dos grupos que no comparten ni un solo elemento: los RACIONALES (los que se pueden escribir como fracción de enteros) y los IRRACIONALES (los que no). El IPN pregunta esto de dos maneras: relaciona el número con su conjunto, o señala cuál de la lista NO es racional.

ConjuntoSímboloQué contieneEjemplos
Naturalesℕlos que sirven para contar: 1, 2, 3, …7, 25, √49 = 7
Enterosℤlos naturales, el cero y los negativos−12, 0, −15/5 = −3
Racionalesℚtodo p/q con p, q enteros y q ≠ 0; decimal finito o periódico3/4 = 0.75, 0.181818… = 2/11, 22/7
IrracionalesIdecimal infinito y SIN periodo; no se pueden escribir como fracciónπ, e, √2, √20, ∛10
Realesℝla unión de racionales e irracionales: todos los puntos de la rectatodos los anteriores
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \qquad \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}, \qquad \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing\)
  • ¿Es un entero o una fracción de enteros? Es racional.
  • ¿Su decimal se corta (0.75) o repite un bloque (0.181818…)? Es racional.
  • ¿La raíz es exacta (√49 = 7, ∛8 = 2)? Es racional. ¿No lo es (√20, ∛10)? Es irracional.
  • ¿Es π o e? Irracional, siempre.
  • Raíz de índice par de un número negativo (√−25): NO es número real.

Ejemplo resuelto: pasar un decimal periódico a fracción (así compruebas que es racional). Toma 1.2333… , donde solo se repite el 3.
Paso 1: llama x = 1.2333… y multiplica por 10 para dejar el periodo justo después del punto: 10x = 12.333…
Paso 2: multiplica otra vez por 10, porque el periodo tiene una cifra: 100x = 123.333…
Paso 3: resta las dos igualdades para que desaparezca la cola infinita: 100x − 10x = 123.333… − 12.333…, es decir 90x = 111.
Paso 4: x = 111/90 = 37/30. Quedó escrito como cociente de enteros, así que 1.2333… es racional.

Una raíz no es automáticamente irracional: √49 = 7 es natural y √(49/16) = 7/4 es racional. Y al revés, 22/7 = 3.142857… se usa para aproximar π, pero es una fracción de enteros: es RACIONAL. Lo irracional es π, no su aproximación.

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