Objetivo del tema: Identificar los elementos de una función cuadrática (concavidad, vértice, eje de simetría, cortes) y resolver ecuaciones de segundo grado por factorización, despeje, completación del cuadrado y fórmula general, interpretando el discriminante.

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Concepto de función cuadrática y sus elementos

Una función cuadrática es toda función polinomial de segundo grado. Su gráfica siempre es una parábola vertical. La condición $a \neq 0$ es obligatoria: si $a = 0$ el término $x^2$ desaparece y la función se vuelve lineal (eso es el subtema 2.3, no este).

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0

Concavidad: si $a > 0$ la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; si $a < 0$ abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
Vértice: punto más alto o más bajo de la curva. Su abscisa es $x_v = -\frac{b}{2a}$ y su ordenada se obtiene evaluando $f(x_v)$ .
Eje de simetría: la recta vertical $x = -\frac{b}{2a}$ , que parte la parábola en dos mitades espejo.
Ordenada al origen: el corte con el eje $y$ siempre es el punto $(0, c)$ .
Cortes con el eje $x$ : son las raíces de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ ; puede haber dos, una o ninguna.
Dominio: todos los números reales. Rango: $[f(x_v), \infty)$ si abre hacia arriba, $(-\infty, f(x_v)]$ si abre hacia abajo.

Forma	Expresión	Qué se lee de inmediato	Ejemplo
General	$f(x) = ax^2 + bx + c$	Concavidad (signo de a) y ordenada al origen (c)	$f(x) = x^2 - 4x + 3$ corta el eje y en (0, 3)
Canónica (de vértice)	$f(x) = a(x - h)^2 + k$	El vértice es (h, k) y el eje de simetría es x = h	$f(x) = (x - 2)^2 - 1$ tiene vértice (2, −1)
Factorizada	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$	Los cortes con el eje x son x₁ y x₂	$f(x) = (x - 1)(x - 3)$ corta en x = 1 y x = 3

Las tres formas describen la MISMA parábola:

x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1 = (x-1)(x-3)

. En el examen conviene pasar a la forma que responde la pregunta con menos cuentas: si te piden el vértice, canónica; si te piden los cortes, factorizada.

¿Y cómo se pasa de una forma a otra? A factorizada, resolviendo la ecuación (eso es la diapositiva siguiente). A canónica, completando el cuadrado. Este es el procedimiento, paso a paso:

Parte de $f(x) = x^2 + 8x + 11$ y fíjate solo en los dos primeros términos.
Toma la mitad del coeficiente de $x$ : la mitad de $8$ es $4$ . Elévala al cuadrado: $4^2 = 16$ .
Suma y resta ese $16$ en el mismo renglón, para no alterar la función: $f(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 11$ .
El paréntesis ya es un trinomio cuadrado perfecto, así que se cierra como binomio al cuadrado: $f(x) = (x + 4)^2 - 5$ .
Lee el vértice directo de la forma canónica: $(h, k) = (-4, -5)$ . Verifícalo con la fórmula: $x_v = -\frac{8}{2(1)} = -4$ y $f(-4) = 16 - 32 + 11 = -5$ ✓
Si $a \neq 1$ , primero factoriza la $a$ de los dos primeros términos: $2x^2 - 12x + 20 = 2(x^2 - 6x) + 20 = 2\left[(x-3)^2 - 9\right] + 20 = 2(x - 3)^2 + 2$ , con vértice $(3, 2)$ .

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