Objetivo del tema: Convertir entre forma exponencial y forma logarítmica, aplicar las propiedades de los logaritmos y resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas al nivel del bloque de Geometría y Trigonometría del IPN.

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El logaritmo es un exponente

En la Guía de Estudio del IPN este tema abre el bloque de Geometría y Trigonometría: el formulario oficial del bloque empieza con «Reglas básicas: Exponentes, Radicales, Logaritmos», y los primeros reactivos de esa sección son exactamente de esto. No hay triángulos aquí todavía, pero sí una idea geométrica de fondo: cada función es la gráfica reflejada de la otra.

La definición es una sola frase: logₐ b es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener b.

x = \log_a b \iff a^{x} = b \qquad (a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0)

Forma exponencial	Forma logarítmica	Cómo se lee
2⁵ = 32	log₂ 32 = 5	el exponente que le pongo al 2 para llegar a 32 es 5
10⁻² = 0.01	log 0.01 = −2	base 10; cuando no se escribe base, es 10 (logaritmo decimal)
e⁰ = 1	ln 1 = 0	base e ≈ 2.718; se llama logaritmo natural
9^(1/2) = 3	log₉ 3 = 1/2	el exponente también puede ser una fracción
(1/3)⁻² = 9	log (base 1/3) de 9 = −2	con base entre 0 y 1 los exponentes negativos dan valores grandes

logₐ 1 = 0 siempre, porque a⁰ = 1 para cualquier base.
logₐ a = 1, porque a¹ = a.
logₐ aⁿ = n. Esta es la que más ahorra tiempo en el examen.
a^(logₐ n) = n. La exponencial deshace al logaritmo.
log de 0 y log de un número negativo NO existen: la base es positiva y una potencia de base positiva nunca da 0 ni un negativo.

Errata del formulario oficial: en la Guía del IPN la propiedad 1 aparece impresa como «logₐ 0 = 1». Está mal. Lo correcto es logₐ 1 = 0, y logₐ 0 no existe. Si te la aprendes como viene impresa, fallas los reactivos de dominio.

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