Objetivo del tema: Calcular razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y en posición normal, simplificar expresiones con las identidades fundamentales y leer amplitud, periodo, desfase y rango en la gráfica de una función trigonométrica.

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Razones trigonométricas: triángulo rectángulo y posición normal

Toda razón trigonométrica es un cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, tomados respecto de un ángulo agudo $\theta$ . CO es el cateto opuesto a $\theta$ , CA el cateto adyacente y H la hipotenusa.

\sin\theta=\frac{CO}{H} \qquad \cos\theta=\frac{CA}{H} \qquad \tan\theta=\frac{CO}{CA}

Recíprocas: $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}=\dfrac{H}{CO}$ , $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{H}{CA}$ , $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{CA}{CO}$ .
Cociente: $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ y $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .
Si te dan dos lados, el tercero sale con Pitágoras $a^2+b^2=c^2$ ; con las ternas 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 y 7-24-25 ahorras la raíz.
En posición normal (vértice en el origen, lado inicial sobre el eje $x$ positivo), si el lado terminal pasa por $P(x,y)$ y $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , entonces $\sin\theta=\dfrac{y}{r}$ , $\cos\theta=\dfrac{x}{r}$ y $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ . El radio $r$ siempre es positivo; el signo lo ponen $x$ y $y$ .

Función	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin\theta$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos\theta$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$\tan\theta$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	no definida

Cuadrante	Intervalo	Razones positivas	Ángulo de referencia
I	0° a 90°	todas	$\theta$
II	90° a 180°	$\sin$ y $\csc$	$180^\circ-\theta$
III	180° a 270°	$\tan$ y $\cot$	$\theta-180^\circ$
IV	270° a 360°	$\cos$ y $\sec$	$360^\circ-\theta$

Ejemplo resuelto. El lado terminal de

\theta

pasa por

P(-8, 6)

. Paso 1:

r=\sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{100}=10

. Paso 2:

\sin\theta=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}

,

\cos\theta=\frac{-8}{10}=-\frac{4}{5}

,

\tan\theta=\frac{6}{-8}=-\frac{3}{4}

. Paso 3: como

x<0

y

y>0

, el ángulo está en el cuadrante II y sólo

\sin

y

\csc

quedan positivas. Coincide.

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