Objetivo del tema: Identificar la cónica que representa una ecuación de segundo grado, reducirla a su forma ordinaria completando cuadrados y obtener sus elementos: centro, vértices, focos, directriz, asíntotas, lado recto y excentricidad.

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Definición como lugar geométrico y forma ordinaria

En geometría analítica una cónica no se define por su dibujo, sino como un lugar geométrico: el conjunto de puntos $P(x, y)$ que cumplen una condición de distancias. Toda la unidad se reduce a traducir esa condición a una ecuación y a leer los elementos de vuelta desde la ecuación.

Circunferencia: los puntos que están a distancia constante $r$ de un punto fijo llamado centro.
Parábola: los puntos que equidistan de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz).
Elipse: los puntos cuya SUMA de distancias a dos focos es constante e igual a $2a$ .
Hipérbola: los puntos cuyo VALOR ABSOLUTO DE LA DIFERENCIA de distancias a dos focos es constante e igual a $2a$ .

Cónica	Forma ordinaria (centro o vértice en (h, k))	Relación fundamental	Excentricidad e = c/a	Lado recto
Circunferencia	$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$	los dos ejes miden lo mismo	$e = 0$	no aplica
Parábola	$(y-k)^2 = 4p(x-h)$ horizontal, $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ vertical	$\|p\|$ = distancia del vértice al foco	$e = 1$	$\|4p\|$
Elipse	$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ (horizontal)	$a^2 = b^2 + c^2$	$0 < e < 1$	$\frac{2b^2}{a}$
Hipérbola	$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ (horizontal)	$c^2 = a^2 + b^2$	$e > 1$	$\frac{2b^2}{a}$

\text{Elipse: } a^2 = b^2 + c^2 \qquad\qquad \text{Hipérbola: } c^2 = a^2 + b^2

La hipérbola trae un elemento extra que el IPN pregunta mucho: sus ASÍNTOTAS. No las memorices, sácalas en dos pasos: en la forma ordinaria cambia el 1 por 0 y despeja $y$ . De $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 0$ sale directo la pareja de rectas:

y - k = \pm\frac{b}{a}(x-h) \;\text{(transverso horizontal)} \qquad y - k = \pm\frac{a}{b}(x-h) \;\text{(transverso vertical)}

Regla que no falla en ningún caso: la pendiente es $\pm\frac{\sqrt{\text{denominador de } y^2}}{\sqrt{\text{denominador de } x^2}}$ , sin importar cuál término lleva el signo negativo. Ejemplo rápido: de $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ sale $\pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \pm\frac{3}{2}$ , o sea $y = \pm\frac{3}{2}x$ .

En la elipse,

a

es SIEMPRE el semieje mayor:

a^2

es el denominador MÁS GRANDE, y la variable que lo lleva te dice la orientación (si está bajo

x^2

, la elipse es horizontal). En la hipérbola no gana el más grande:

a^2

es el denominador del término POSITIVO, aunque sea el menor, y ese término marca el eje transverso. Confundir esto es el error que más cuesta puntos en esta unidad.

Si la cónica está centrada en el origen, basta con hacer

h = 0

y

k = 0

:

x^2 + y^2 = r^2

,

y^2 = 4px

,

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

,

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

.

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