Objetivo del tema: Ubicar puntos en el plano polar, convertir coordenadas y ecuaciones entre el sistema polar y el rectangular, y reconocer los lugares geométricos elementales que se describen con $ r $ y $ \theta $.

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Polo, eje polar y el par ordenado (r, θ)

En el plano cartesiano un punto se localiza con dos distancias perpendiculares. En el plano polar se localiza con una distancia y una dirección. La referencia es un punto fijo llamado POLO (equivalente al origen) y un rayo horizontal que sale de él hacia la derecha, el EJE POLAR (equivalente al semieje x positivo). La retícula no son cuadros: son circunferencias concéntricas (los valores de r) y rayos que salen del polo (los valores de θ).

Radio vector $r$ : distancia dirigida del polo al punto. En la retícula te dice sobre CUÁL de las circunferencias concéntricas cae el punto.
Ángulo polar $\theta$ : giro medido desde el eje polar hasta el radio vector. Puede darse en grados o en radianes.
Un punto se escribe $P(r,\ \theta)$ ; el radio va primero y el ángulo después.
El polo es $(0,\ \theta)$ para CUALQUIER ángulo: si el radio es cero, la dirección no importa.

Convenio de signo	Qué significa	Ejemplo
$\theta > 0$	Se gira en sentido contrario a las manecillas del reloj	$(4,\ 60^\circ)$ queda arriba a la derecha
$\theta < 0$	Se gira en el sentido de las manecillas del reloj	$(4,\ -60^\circ)$ equivale a $(4,\ 300^\circ)$
$r > 0$	Se avanza sobre el rayo del ángulo indicado	$(4,\ 60^\circ)$ está en la dirección $60^\circ$
$r < 0$	Se avanza sobre la PROLONGACIÓN opuesta del rayo	$(-4,\ 60^\circ)$ está en la dirección $240^\circ$

Grados	$ 30^\circ $	$ 45^\circ $	$ 60^\circ $	$ 90^\circ $	$ 120^\circ $	$ 135^\circ $	$ 180^\circ $
Radianes	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\pi$

Diferencia clave con el plano cartesiano: ahí cada punto tiene UN solo par (x, y); en el plano polar cada punto tiene INFINITOS pares. Todos estos nombran el mismo punto:

(r,\ \theta + 360^\circ k)

y

(-r,\ \theta + 180^\circ + 360^\circ k)

. Por eso los reactivos suelen pedir la forma con

r > 0

y

0^\circ \le \theta < 360^\circ

: es la única representación estándar.

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