Dominio, rango y desigualdades: el arranque del bloque
El bloque de Cálculo diferencial de la Guía del IPN no abre con derivadas: abre con dominio, rango y desigualdades. Los primeros reactivos oficiales son literalmente «¿cuál es el dominio de…?» y «¿cuál es el conjunto solución de…?».
El dominio son todos los valores de x que la función acepta. En el examen nunca te van a pedir un dominio complicado: te van a poner una raíz par, un denominador o un logaritmo, y esas tres cosas son las únicas que prohíben valores.
| Si en la función aparece… | La condición que hay que imponer | Ejemplo y dominio |
|---|---|---|
| Polinomio (sin raíces ni fracciones) | Ninguna: acepta todo | f(x) = x³ − 4x + 1 → ℝ |
| Denominador | Denominador ≠ 0 | f(x) = (x+2)/(x²−9) → ℝ − {−3, 3} |
| Raíz de índice PAR | Radicando ≥ 0 | f(x) = √(5−x) → x ≤ 5, es decir (−∞, 5] |
| Raíz par EN el denominador | Radicando > 0 (no puede ser 0) | f(x) = 1/√(x−2) → (2, ∞) |
| Logaritmo | Argumento > 0 | f(x) = ln(x+4) → (−4, ∞) |
| Raíz de índice IMPAR | Ninguna | f(x) = ∛(x−7) → ℝ |
El rango son los valores que la función sí alcanza. La técnica que resuelve casi todos los reactivos es completar el cuadrado y usar que un cuadrado nunca es negativo:
g(x) = x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2. Como (x − 3)² ≥ 0, entonces g(x) ≥ 2 y el rango es [2, ∞).
Para resolver una desigualdad NO se despeja como si fuera una ecuación. Se pasa todo a un lado, se factoriza y se estudian los signos por intervalos:
x² − x − 6 ≥ 0 → (x − 3)(x + 2) ≥ 0. Los puntos críticos son x = −2 y x = 3.
| Intervalo | Signo de (x + 2) | Signo de (x − 3) | Signo del producto |
|---|---|---|---|
| (−∞, −2) | − | − | + ✓ cumple |
| (−2, 3) | + | − | − ✗ no cumple |
| (3, ∞) | + | + | + ✓ cumple |
Desigualdades con valor absoluto. Aquí no hace falta tabla de signos: se traducen con dos reglas y listo.
• |u| < k (con k > 0) significa −k < u < k → queda UNA desigualdad doble, un solo intervalo «de adentro».
• |u| > k significa u < −k o u > k → quedan DOS intervalos separados, los «de afuera».
Ejemplo: |2x − 1| ≤ 5 → −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 → −4 ≤ 2x ≤ 6 → −2 ≤ x ≤ 3, o sea [−2, 3].
Y con el signo volteado, |2x − 1| ≥ 5 → 2x − 1 ≤ −5 o 2x − 1 ≥ 5 → x ≤ −2 o x ≥ 3, o sea (−∞, −2] ∪ [3, ∞).
¿Necesitas ayuda con este tema?