Objetivo del tema: Calcular derivadas de funciones algebraicas y trascendentes con la definición, las fórmulas básicas y las reglas de producto, cociente y cadena, e interpretarlas como pendiente de la recta tangente para localizar máximos y mínimos, al nivel del bloque de Cálculo diferencial del IPN.

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Qué es la derivada y qué significa en la gráfica

Este es el segundo subtema del bloque de Cálculo diferencial. En 5.1 aprendiste a calcular límites; aquí ese límite tiene un nombre y un uso: la derivada mide qué tan rápido cambia una función en un punto exacto, no en un intervalo.

La razón de cambio promedio entre dos puntos es $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ . Si acercas el segundo punto al primero hasta que la separación tiende a cero, obtienes la razón de cambio instantánea: eso es la derivada.

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}

El IPN pregunta con frecuencia el orden del procedimiento de los cuatro pasos, no sólo el resultado. Apréndetelo en este orden:

Evaluar la función en el punto desplazado: calcular $f(c+h)$ .
Calcular la variación de la función: $\Delta f = f(c+h) - f(c)$ .
Formar el cociente entre las dos variaciones: $\frac{f(c+h) - f(c)}{h}$ y simplificar hasta que desaparezca la h del denominador.
Tomar el límite cuando $h \to 0$ . Si ese límite existe, su valor es $f'(c)$ .

Ejemplo resuelto con la definición. Sea $f(x) = x^{2} - 4x$ ; calculamos $f'(3)$ .

Paso 1: $f(3+h) = (3+h)^{2} - 4(3+h) = h^{2} + 2h - 3$ .
Paso 2: $f(3) = 9 - 12 = -3$ , así que $\Delta f = h^{2} + 2h$ .
Paso 3: $\frac{h^{2} + 2h}{h} = h + 2$ .
Paso 4: $\lim_{h \to 0} (h + 2) = 2$ . Por lo tanto $f'(3) = 2$ .

Valor de f′(a)	Recta tangente en x = a	Comportamiento de f cerca de a
f′(a) > 0	sube: pendiente positiva	la función es creciente
f′(a) < 0	baja: pendiente negativa	la función es decreciente
f′(a) = 0	horizontal	punto crítico: posible máximo o mínimo
f′(a) no existe	vertical o hay un pico	la función no es derivable en a

Interpretación geométrica.

f'(a)

es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto

(a, f(a))

, es decir

m = \tan\theta

con

\theta

el ángulo de inclinación. De ahí salen las dos rectas que pide el examen: tangente

y - f(a) = f'(a)(x-a)

y normal (perpendicular a ella)

y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)

.

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