Objetivo del tema: Reconocer la antiderivada de una función, aplicar las fórmulas básicas de integración y determinar el valor de la constante de integración a partir de una condición inicial.

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Integrar es deshacer la derivada

Aquí empieza el bloque de Cálculo integral de la Guía del IPN. En la unidad anterior te daban una función y pedían su derivada; ahora te dan la derivada y tienes que regresar a la función original. Esa función original se llama antiderivada (o primitiva).

$F$ es antiderivada de $f$ cuando al derivar $F$ obtienes $f$ . La integral indefinida es el símbolo con el que se escribe esa operación:

\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad \Longleftrightarrow \quad F'(x) = f(x)

$\int$ es el signo de integral; $f(x)$ es el integrando; $dx$ indica respecto a qué variable se integra (no es adorno: si dice $dt$ , integras en $t$ ).
El resultado NO es un número: es una familia de funciones, todas con la misma derivada.
Toda integral indefinida se comprueba derivando el resultado. Si al derivar recuperas el integrando, está bien. Esta es tu red de seguridad en el examen.

¿De dónde sale la constante de integración? Si $F$ y $G$ son antiderivadas de la misma $f$ , entonces $(F-G)' = f - f = 0$ , y una función con derivada cero en un intervalo es constante. Por eso dos antiderivadas de una misma función sólo pueden diferir en una constante, y esa constante se arrastra como $+C$ . Gráficamente son la misma curva trasladada hacia arriba o hacia abajo.

Función f(x)	Una antiderivada	Todas las antiderivadas	Comprobación
$2x$	$x^{2}$	$x^{2} + C$	$(x^{2}+C)' = 2x$
$\cos x$	$\operatorname{sen} x$	$\operatorname{sen} x + C$	$(\operatorname{sen} x + C)' = \cos x$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$\ln\|x\| + C$	$(\ln\|x\|)' = \dfrac{1}{x}$
$0$	$7$	$C$	la derivada de cualquier constante es 0

Una respuesta sin

+C

es una respuesta incompleta. En el examen del IPN las cuatro opciones casi siempre traen el

+C

, así que la trampa nunca está ahí: está en el coeficiente, en el exponente o en el signo.

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