Objetivo del tema: Identificar y aplicar el método de integración adecuado —sustitución, por partes, sustitución trigonométrica o fracciones parciales— para resolver integrales indefinidas que no salen con las fórmulas básicas.

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Los cuatro métodos y cómo decidir cuál usar

Cuando una integral no sale con las fórmulas básicas de la 6.1, hay que transformarla. El IPN casi nunca te pide inventar: te pide reconocer. En el examen tienes unos 77 segundos por reactivo, así que la habilidad que se evalúa es leer el integrando y saber de inmediato qué método toca.

Método	Señal en el integrando	Ejemplo típico
Sustitución (cambio de variable)	Aparece una función y su derivada, salvo una constante	$\int x^{2}(x^{3}+5)^{4}\,dx$
Integración por partes	Producto de dos funciones de distinto tipo (polinomio × exponencial, logaritmo o trigonométrica)	$\int x e^{2x}\,dx$
Sustitución trigonométrica	Radical de la forma $\sqrt{a^{2}-u^{2}}$ , $\sqrt{a^{2}+u^{2}}$ o $\sqrt{u^{2}-a^{2}}$	$\int \dfrac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-4}}$
Fracciones parciales	Cociente de polinomios con denominador factorizable	$\int \dfrac{5x-4}{x^{2}-x-2}\,dx$

¿Es una fórmula inmediata (potencia, $e^{u}$ , $\ln|u|$ , seno, coseno)? Resuélvela directo.
¿Está la derivada de algo dentro del integrando, aunque sea con un factor numérico? → sustitución.
¿Hay un radical con suma o resta de cuadrados? → sustitución trigonométrica.
¿Es un cociente de polinomios con denominador FACTORIZABLE? → fracciones parciales (si el numerador es de grado mayor o igual, divide primero). Si el denominador no factoriza, como $x^{2}+4$ , no son parciales: eso sale con fórmula directa de arcotangente.
¿Quedó un producto de funciones distintas que no se acomoda a lo anterior? → por partes.

Truco de verificación: la respuesta de una integral indefinida siempre se puede comprobar derivándola. Si derivas la opción que elegiste y regresas al integrando, es la correcta. En reactivos de opción múltiple esto suele ser más rápido que integrar.

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