Objetivo del tema: Evaluar integrales definidas con el Teorema Fundamental del Cálculo y usarlas para calcular áreas bajo una curva, áreas entre curvas y longitudes de arco.
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Integral definida y Teorema Fundamental del Cálculo

La integral indefinida (6.1) devuelve una familia de funciones; la integral definida devuelve un NÚMERO. Ese número es el área con signo que queda entre la gráfica de f f y el eje x x desde x=a x=a hasta x=b x=b . El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es lo que te permite obtenerlo sin sumar rectángulos: basta con una antiderivada.

∫abf(x) dx=F(x)∣ab=F(b)−F(a),con F′(x)=f(x)\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a), \qquad \text{con } F'(x)=f(x)
Siempre es F(límite superior) menos F(límite inferior). Invertir el orden y escribir F(a) − F(b) te cambia el signo del resultado: es el error número uno del examen. Y en la definida NO se escribe la constante C, porque se cancela al restar.

El TFC tiene una segunda cara, la que deriva en vez de integrar: si G(x)=∫axf(t) dt G(x)=\int_a^x f(t)\,dt , entonces G′(x)=f(x) G'(x)=f(x) . Derivar deshace integrar.

PropiedadExpresiónPara qué te sirve en el examen
Límites iguales∫aaf(x) dx=0 \int_a^a f(x)\,dx = 0 Si tras una sustitución los dos límites quedan iguales, la respuesta es 0 sin calcular nada
Intercambiar límites∫baf=−∫abf \int_b^a f = -\int_a^b f Ordenar la integral cuando te la dan al revés
Aditividad∫acf=∫abf+∫bcf \int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f Partir el intervalo donde la función cambia de signo
Linealidad∫ab[kf±g]=k∫abf±∫abg \int_a^b [k f \pm g] = k\int_a^b f \pm \int_a^b g Separar sumas y sacar constantes antes de integrar
Simetría (función impar)∫−aaf(x) dx=0 \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 si f f es imparAnular de un vistazo integrandos impares como x3 x^3 o sen⁡x \operatorname{sen} x en intervalos simétricos

Ejemplo resuelto. Calcula ∫12(3x2−4x+1) dx \int_1^{2} (3x^2 - 4x + 1)\,dx .
1) Antiderivada término a término: F(x)=x3−2x2+x F(x)=x^3-2x^2+x .
2) Límite superior: F(2)=8−8+2=2 F(2)=8-8+2=2 .
3) Límite inferior: F(1)=1−2+1=0 F(1)=1-2+1=0 .
4) Resta: 2−0=2 2-0=2 .

Cuando integres por sustitución (6.2) en una definida, cambia también los límites a la nueva variable u. Si u = x² − 1 y x va de 1 a 2, entonces u va de 0 a 3. Así ya no tienes que regresar a x al final.

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