La circunferencia es una de las figuras geométricas más presentes en nuestra vida cotidiana: ruedas, platos, órbitas planetarias, ondas en el agua, diseños arquitectónicos y mucho más.

En geometría analítica, la circunferencia es un lugar geométrico: el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Introducción

Lectura: Definición

DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano que están a la misma distancia de un punto fijo C, llamado centro. Esta distancia constante se denomina radio y se denota por r. ELEMENTOS PRINCIPALES 1. CENTRO C(h, k) Es el punto fijo del cual todos los puntos de la circunferencia equidistan. Se denota usualmente como C(h, k) cuando está en cualquier posición, o C(0, 0) cuando está en el origen. 2. RADIO (r) Es la distancia constante desde el centro a cualquier punto de la circunferencia. • Siempre es positivo: r > 0 • Se mide en unidades de longitud • Todos los radios de una misma circunferencia son iguales 3. DIÁMETRO (d) Es el segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. • Relación con el radio: d = 2r • Es la cuerda más larga de la circunferencia 4. CUERDA Es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia (no necesariamente pasa por el centro). 5. ARCO Es una porción de la circunferencia delimitada por dos puntos. 6. TANGENTE Es una recta que toca la circunferencia en exactamente un punto. Es perpendicular al radio en ese punto. 7. SECANTE Es una recta que intersecta la circunferencia en dos puntos. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN Para deducir la ecuación de una circunferencia, usamos la fórmula de distancia: Si C(h, k) es el centro y P(x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia, entonces la distancia CP es constante e igual al radio r: d(C, P) = r Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos: √[(x - h)² + (y - k)²] = r Elevando al cuadrado ambos lados: (x - h)² + (y - k)² = r² Esta es la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia.

Quiz: Definición

Es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante

Es el conjunto de puntos que están dentro de un círculo

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro

Es una línea curva que no tiene principio ni fin

Lectura: Formas

FORMA CANÓNICA Cuando el centro de la circunferencia está en el origen C(0, 0): Ecuación: x² + y² = r² Donde r es el radio de la circunferencia. Ejemplo: x² + y² = 25 → Centro C(0, 0), Radio r = 5 FORMA ORDINARIA (o estándar) Cuando el centro está en cualquier punto C(h, k): Ecuación: (x - h)² + (y - k)² = r² Donde: • C(h, k) es el centro • r es el radio Importante: Observa los signos. Si la ecuación es (x + 3)² + (y - 2)² = 16, entonces: • x - h = x + 3 → h = -3 • y - k = y - 2 → k = 2 • r² = 16 → r = 4 • Centro: C(-3, 2), Radio: r = 4 Ejemplos: 1. (x - 2)² + (y - 3)² = 9 → Centro C(2, 3), Radio r = 3 2. (x + 1)² + (y + 4)² = 7 → Centro C(-1, -4), Radio r = √7 FORMA GENERAL Es la forma expandida de la ecuación ordinaria: Ecuación: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 O más generalmente: Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 donde A = C Donde D, E y F son constantes. Característica principal: Los coeficientes de x² y y² son iguales (generalmente ambos son 1 o se pueden hacer 1 dividiendo toda la ecuación). Ejemplo: x² + y² + 6x - 4y - 12 = 0 Aquí D = 6, E = -4, F = -12 RELACIÓN ENTRE FORMAS Para convertir de forma ordinaria a general: • Expandir los binomios al cuadrado • Simplificar y agrupar términos Para convertir de forma general a ordinaria: • Agrupar términos en x y en y • Completar el trinomio cuadrado perfecto • Factorizar y simplificar FÓRMULAS ÚTILES A partir de la forma general x² + y² + Dx + Ey + F = 0: Centro: C(-D/2, -E/2) Radio: r = √[(D/2)² + (E/2)² - F] El radio debe ser positivo para que exista la circunferencia real.

Quiz: Canónica

Quiz: Ordinaria

Lectura: TCP

COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) Esta técnica es fundamental para convertir la ecuación de forma general a forma ordinaria. RECORDATORIO: Trinomio Cuadrado Perfecto Un trinomio es cuadrado perfecto si se puede factorizar como el cuadrado de un binomio: x² + 2ax + a² = (x + a)² x² - 2ax + a² = (x - a)² REGLA PARA COMPLETAR EL TCP Dado un término de la forma x² + bx, el término que falta para completar el TCP es: Término a agregar = (b/2)² Donde b es el coeficiente de x. PROCEDIMIENTO COMPLETO Para convertir x² + y² + Dx + Ey + F = 0 a forma ordinaria: Paso 1: Agrupar términos en x y en y (x² + Dx) + (y² + Ey) = -F Paso 2: Identificar qué agregar para completar TCP Para x² + Dx: agregar (D/2)² Para y² + Ey: agregar (E/2)² Paso 3: Agregar estas cantidades a ambos lados (x² + Dx + (D/2)²) + (y² + Ey + (E/2)²) = -F + (D/2)² + (E/2)² Paso 4: Factorizar los TCP (x + D/2)² + (y + E/2)² = -F + (D/2)² + (E/2)² Paso 5: Identificar centro y radio Centro: C(-D/2, -E/2) Radio: r = √[-F + (D/2)² + (E/2)²] EJEMPLO DETALLADO Convertir x² + y² + 6x - 4y - 12 = 0 a forma ordinaria: Paso 1: Agrupar (x² + 6x) + (y² - 4y) = 12 Paso 2: Calcular términos a agregar Para x² + 6x: (6/2)² = 9 Para y² - 4y: (-4/2)² = 4 Paso 3: Agregar a ambos lados (x² + 6x + 9) + (y² - 4y + 4) = 12 + 9 + 4 (x² + 6x + 9) + (y² - 4y + 4) = 25 Paso 4: Factorizar (x + 3)² + (y - 2)² = 25 Paso 5: Identificar Centro: C(-3, 2) Radio: r = √25 = 5 VERIFICACIÓN Punto en la circunferencia: (-3 + 5, 2) = (2, 2) Distancia al centro: √[(2 - (-3))² + (2 - 2)²] = √25 = 5 ✓

Quiz: TCP concepto

Calcular (D/2)² y (E/2)² para completar el TCP

Agrupar términos en x y términos en y, pasar F al otro lado

Factorizar los trinomios cuadrados perfectos

Identificar el centro C(h, k) y el radio r

Agregar estos valores a ambos lados de la ecuación

Ordenar: Pasos TCP

Quiz: TCP aplicación

Emparejar: Elementos

Quiz: Identificar forma

Quiz: Radio

Quiz múltiple: Características

El radio siempre debe ser un número positivo

En la forma general, los coeficientes de x² y y² deben ser iguales

La forma canónica solo se aplica cuando el centro está en el origen

Una circunferencia puede tener radio negativo

Quiz: Escribir ecuación

Quiz: Convertir

Un sistema de radares necesita monitorear aviones en un espacio aéreo circular. La estación de control está ubicada en las coordenadas (50, 30) km en un mapa, y el radar tiene un alcance de 80 km. Modelado matemático: Para representar el área de cobertura del radar, usamos la ecuación de una circunferencia: Centro de la estación: C(50, 30) Alcance del radar (radio): r = 80 km Ecuación en forma ordinaria: (x - 50)² + (y - 30)² = 6400 Donde x e y representan las coordenadas en km en el mapa. Interpretación: • Cualquier punto P(x, y) que satisfaga esta ecuación está exactamente en el límite del alcance del radar (80 km de distancia). • Si la distancia del avión a la estación es menor que 80 km, está dentro del área de cobertura: (x - 50)² + (y - 30)² < 6400 • Si la distancia es mayor que 80 km, está fuera del alcance: (x - 50)² + (y - 30)² > 6400 Ejemplo práctico: Un avión está en las coordenadas A(110, 90). ¿Está dentro del alcance del radar? Calculamos: (110 - 50)² + (90 - 30)² = 60² + 60² = 3600 + 3600 = 7200 Como 7200 > 6400, el avión está fuera del alcance del radar. Distancia real: √7200 ≈ 84.85 km > 80 km Este tipo de modelado es fundamental en navegación aérea, sistemas GPS, telecomunicaciones y diseño de redes de cobertura.

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