Las **funciones trigonométricas** aparecen constantemente en física (movimiento armónico, ondas), ingeniería (señales, circuitos) y geometría. Es esencial conocer sus derivadas.

Las seis funciones trigonométricas tienen fórmulas de derivación específicas que debes memorizar:

Patrón de signos: Las derivadas de las funciones 'co-' (coseno, cotangente, cosecante) tienen signo negativo.

Estas fórmulas asumen que x está en **radianes**, no grados.

Las derivadas del seno y coseno son las más fundamentales:

2) g(x) = sen x + cos x
   g'(x) = cos x - sen x

3) h(x) = x² + sen x
   h'(x) = 2x + cos x

Nota: d/dx(cos x) = -sen x tiene signo negativo. Es común olvidar este signo.

**Demostración intuitiva**: La derivada mide la razón de cambio. La pendiente de sen x es máxima (cos x = 1) cuando x = 0, y cero cuando sen x alcanza su máximo (cos x = 0 en x = π/2).

Las derivadas de la tangente y cotangente involucran funciones al cuadrado:

Recordatorio: sec x = 1/cos x  y  csc x = 1/sen x

Podemos expresar en términos de seno y coseno:

1) f(x) = tan x - x
   f'(x) = sec² x - 1

Nota mnemotécnica: La derivada de tan es positiva (sec²), la de cot es negativa (-csc²).

Las derivadas de secante y cosecante son productos de funciones:

**Patrón**: Cada derivada contiene la función original multiplicada por otra función trigonométrica.

2) g(x) = 2 csc x
   g'(x) = -2 csc x cot x

Las funciones 'co-' (cosecante, cotangente) tienen signo negativo en sus derivadas.

La **regla de la cadena** es la herramienta más poderosa del cálculo diferencial. Permite derivar **funciones compuestas** (funciones dentro de funciones).

Si tenemos y = f(g(x)), es decir, una función f aplicada a otra función g(x), entonces:

O en notación más simple, si y = f(u) donde u = g(x):

Regla nemotécnica: 'Deriva la función exterior evaluada en la interior, multiplicado por la derivada de la interior'.

Función exterior: f(u) = u⁵
Función interior: u = x² + 1

Derivada exterior: f'(u) = 5u⁴
Derivada interior: du/dx = 2x

La regla de la cadena es esencial porque la mayoría de las funciones en aplicaciones reales son composiciones de funciones más simples.

**¿Por qué se llama 'regla de la cadena'?**

Imaginemos una cadena de transformaciones: x → g(x) → f(g(x)). Queremos saber cómo cambia el resultado final cuando cambia x.

Si x cambia un poco (Δx), entonces:
1. g(x) cambia aproximadamente g'(x)·Δx
2. Ese cambio en g causa que f cambie aproximadamente f'(g)·[cambio en g]
3. En total: cambio en f ≈ f'(g)·g'(x)·Δx

Dividiendo por Δx y tomando límite: dy/dx = f'(g(x))·g'(x)

**Ejemplos paso a paso:**

**Ejemplo 1**: Derivar y = sen(3x)
• Función exterior: f(u) = sen(u)
• Función interior: u = 3x
• f'(u) = cos(u)
• u' = 3
• Resultado: dy/dx = cos(3x)·3 = 3cos(3x)

**Ejemplo 2**: Derivar y = (5x² - 2)⁸
• Función exterior: f(u) = u⁸
• Función interior: u = 5x² - 2
• f'(u) = 8u⁷
• u' = 10x
• Resultado: dy/dx = 8(5x² - 2)⁷·10x = 80x(5x² - 2)⁷

**Ejemplo 3**: Derivar y = cos(x³ + 2x)
• Función exterior: f(u) = cos(u)
• Función interior: u = x³ + 2x
• f'(u) = -sen(u)
• u' = 3x² + 2
• Resultado: dy/dx = -sen(x³ + 2x)·(3x² + 2)

**Cadenas múltiples:**

A veces hay tres o más funciones anidadas. Ejemplo: y = sen²(3x) = [sen(3x)]²

• Función más externa: f(v) = v²
• Función media: v = sen(u)
• Función interna: u = 3x

Aplicamos la cadena dos veces:
dy/dx = 2[sen(3x)]·cos(3x)·3 = 6sen(3x)cos(3x)

O usando identidad trigonométrica: = 3sen(6x)

**Aplicaciones prácticas:**

1. **Física**: Si la temperatura T depende de la altitud h, y la altitud depende del tiempo t, entonces dT/dt = (dT/dh)·(dh/dt)

2. **Economía**: Si el costo C depende de la producción q, y q depende del tiempo t, entonces dC/dt = (dC/dq)·(dq/dt) da la razón de cambio del costo con respecto al tiempo

3. **Biología**: Si la población P depende de recursos R, y R depende del tiempo t, entonces dP/dt = (dP/dR)·(dR/dt)

La regla de la cadena conecta estas tasas de cambio de manera matemática rigurosa.

Combinando las derivadas trigonométricas con la regla de la cadena, podemos derivar funciones como sen(u), cos(u), tan(u) donde u = g(x):

1) f(x) = sen(5x)
   f'(x) = cos(5x)·5 = 5cos(5x)

2) g(x) = cos(x²)
   g'(x) = -sen(x²)·2x = -2x sen(x²)

3) h(x) = tan(√x) = tan(x^(1/2))
   h'(x) = sec²(√x)·(1/(2√x)) = sec²(√x)/(2√x)

4) k(x) = sen(3x² - x)
   k'(x) = cos(3x² - x)·(6x - 1)

Para derivar sen(3x), multiplicas cos(3x) por 3

Identificar función exterior: cos(u) e interior: u = x² + 1

Multiplicar: f'(x) = -sen(x² + 1)·2x = -2x sen(x² + 1)

Una masa atada a un resorte oscila verticalmente. Su posición (en centímetros) respecto al punto de equilibrio está dada por:

y(t) = 10 sen(2πt)

donde t es el tiempo en segundos.

**Pregunta**: ¿Cuál es la velocidad de la masa en cualquier instante t?

**Solución**:
La velocidad es la derivada de la posición: v(t) = dy/dt

Derivamos usando la regla de la cadena:
v(t) = d/dt[10 sen(2πt)]
v(t) = 10 · cos(2πt) · d/dt(2πt)
v(t) = 10 · cos(2πt) · 2π
v(t) = 20π cos(2πt) cm/s

**Interpretación física**:

• En t = 0: v(0) = 20π cos(0) = 20π ≈ 62.8 cm/s
  La masa empieza moviéndose hacia arriba a máxima velocidad.

• En t = 0.25 s: v(0.25) = 20π cos(π/2) = 0
  La masa se detiene momentáneamente en el punto máximo.

• En t = 0.5 s: v(0.5) = 20π cos(π) = -20π ≈ -62.8 cm/s
  La masa se mueve hacia abajo a máxima velocidad.

• En t = 0.75 s: v(0.75) = 20π cos(3π/2) = 0
  La masa se detiene en el punto mínimo.

• En t = 1 s: v(1) = 20π cos(2π) = 20π
  Completa un ciclo, vuelve a la velocidad inicial.

**Aceleración**:
La aceleración es a(t) = dv/dt = d²y/dt²

a(t) = d/dt[20π cos(2πt)]
a(t) = 20π · (-sen(2πt)) · 2π
a(t) = -40π² sen(2πt) cm/s²

Observa que a(t) = -4π² · y(t). La aceleración es proporcional al desplazamiento pero en sentido contrario. Esto es característico del movimiento armónico simple.

**Frecuencia y período**:
• La función sen(2πt) tiene período T = 1 segundo (una oscilación completa)
• La frecuencia es f = 1/T = 1 Hz (una oscilación por segundo)
• La frecuencia angular es ω = 2πf = 2π rad/s

Así: y(t) = A sen(ωt) donde A = 10 cm es la amplitud
Velocidad máxima: v_max = Aω = 10 · 2π = 20π cm/s
Aceleración máxima: a_max = Aω² = 10 · (2π)² = 40π² cm/s²

Este tipo de movimiento aparece en péndulos, resortes, ondas sonoras, circuitos eléctricos AC, y muchos otros sistemas físicos.

Has dominado las derivadas de funciones trigonométricas y la regla de la cadena, dos herramientas esenciales del cálculo diferencial.

Patrón mnemotécnico: Las funciones 'co-' (cos, cot, csc) tienen signo negativo en sus derivadas.

Con estas herramientas puedes derivar una enorme variedad de funciones. En el siguiente tema aprenderás sobre integrales, el proceso inverso de la derivación.

Derivadas de Funciones Trigonométricas

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