La **derivada** de una función mide la **razón de cambio instantánea** de la función en un punto. Es uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial.

La derivada nos dice qué tan rápido cambia una función. Si f'(x) > 0, la función crece; si f'(x) < 0, decrece.

**Definición formal**: La derivada de f en x es el límite:

Aunque usaremos reglas prácticas para calcular derivadas sin necesidad de aplicar límites cada vez.

La derivada de una **suma o resta** de funciones es la suma o resta de sus derivadas. Esta es una de las reglas más simples y útiles.

**Ejemplo 1**: Derivada de f(x) = x³ + 2x²

**Ejemplo 2**: Derivada de g(x) = 5x⁴ - 3x² + 7x - 1

La derivada de una constante es cero: d/dx(c) = 0, porque una constante no cambia.

Esta regla simplifica enormemente el cálculo de derivadas de polinomios: derivamos término por término.

La **regla de la potencia** es fundamental para derivar funciones de la forma xⁿ, donde n es cualquier número real.

**Procedimiento**: Multiplica por el exponente y resta 1 al exponente.

**Constante multiplicativa**: Si hay una constante, se mantiene:

**Ejemplo**: d/dx(7x⁴) = 7 · 4x³ = 28x³

Cuando necesitamos derivar el **producto de dos funciones**, NO podemos derivar cada función por separado. Debemos usar la **regla del producto**.

Regla nemotécnica: 'La derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo'.

**Ejemplo**: Derivar h(x) = (x² + 1)(x³ - 2x)

Identificamos: f(x) = x² + 1, g(x) = x³ - 2x

Para derivar un **cociente de funciones** usamos la **regla del cociente**. Es similar a la del producto pero con un signo menos.

Regla nemotécnica: 'Derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, todo sobre abajo al cuadrado'.

**Ejemplo**: Derivar h(x) = (x² + 3)/(x - 1)

Identificamos: f(x) = x² + 3, g(x) = x - 1

Podemos factorizar el numerador: (x - 3)(x + 1)

Las derivadas tienen aplicaciones fundamentales en ciencias, ingeniería y economía. A continuación exploramos algunas de las más importantes:

**1. Velocidad y aceleración (Física)**

Si s(t) representa la posición de un objeto en función del tiempo, entonces:
• Velocidad: v(t) = s'(t) = ds/dt
• Aceleración: a(t) = v'(t) = s''(t) = d²s/dt²

Ejemplo: Un objeto cae desde una torre. Su altura es h(t) = 100 - 5t² metros.
• Velocidad: v(t) = h'(t) = -10t m/s (negativa porque cae)
• A los 3 segundos: v(3) = -30 m/s
• Aceleración: a(t) = h''(t) = -10 m/s² (gravedad)

**2. Tasas de cambio en economía**

• **Costo marginal**: Si C(x) es el costo de producir x unidades, C'(x) es el costo adicional de producir una unidad más
• **Ingreso marginal**: Si I(x) es el ingreso por vender x unidades, I'(x) indica cuánto aumenta el ingreso al vender una más
• **Utilidad marginal**: U'(x) = I'(x) - C'(x)

Ejemplo: Una empresa tiene costo C(x) = 1000 + 50x + 0.1x² pesos para producir x unidades.
• Costo marginal: C'(x) = 50 + 0.2x
• Para la unidad 100: C'(100) = 50 + 20 = 70 pesos

**3. Optimización**

Las derivadas permiten encontrar máximos y mínimos:
• Si f'(a) = 0, el punto x = a es un **punto crítico** (posible máximo o mínimo)
• Si f'(x) cambia de positiva a negativa en a → máximo local
• Si f'(x) cambia de negativa a positiva en a → mínimo local

Aplicaciones:
• Maximizar ganancias, minimizar costos
• Encontrar dimensiones óptimas en diseño
• Optimizar rutas y tiempos

**4. Aproximaciones lineales**

La derivada permite aproximar funciones complicadas mediante rectas tangentes:
• Ecuación de la recta tangente en (a, f(a)): y = f(a) + f'(a)(x - a)
• Útil para cálculos aproximados cuando x está cerca de a

**5. Razón de cambio relacionadas**

Permite relacionar tasas de cambio de variables dependientes:
• Un globo se infla: relacionar la rapidez del cambio del radio con el volumen
• Una escalera resbala: relacionar la velocidad de los extremos
• Tráfico: relacionar la rapidez del cambio de densidad con la velocidad

Estas aplicaciones demuestran por qué el cálculo diferencial es fundamental en ciencia y tecnología moderna.

La derivada mide la razón de cambio instantánea

Si f'(a) = 0, entonces x = a es un máximo o mínimo

d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹ para cualquier n real

Identificar: numerador u = x² + 1, denominador v = 2x

Simplificar: [(2x)(2x) - (x² + 1)(2)]/(2x)² = (2x² - 2)/(4x²) = (x² - 1)/(2x²)

Aplicar regla del cociente: (u'v - uv')/v²

Un granjero tiene 200 metros de cerca y quiere construir un corral rectangular usando un lado de su granero (por lo que solo necesita cercar tres lados). ¿Qué dimensiones debe tener el corral para maximizar el área?

**Planteamiento:**

Sea x = ancho del corral (los dos lados perpendiculares al granero)
Sea y = largo del corral (el lado paralelo al granero)

**Restricción del perímetro:**
Como solo cercamos tres lados: 2x + y = 200
Despejamos: y = 200 - 2x

**Función a maximizar (área):**
A(x) = x · y = x(200 - 2x) = 200x - 2x²

Esta es una función cuadrática en x que queremos maximizar.

**Encontrar el máximo con derivadas:**

Paso 1: Derivamos A(x)
A'(x) = 200 - 4x

Paso 2: Igualamos a cero para encontrar puntos críticos
200 - 4x = 0
4x = 200
x = 50 metros

Paso 3: Verificamos que es un máximo
A''(x) = -4 < 0, por lo que x = 50 es un máximo (la segunda derivada negativa indica concavidad hacia abajo).

Paso 4: Calculamos y
y = 200 - 2(50) = 200 - 100 = 100 metros

Paso 5: Área máxima
A_max = 50 × 100 = 5000 m²

**Conclusión:**
El corral debe tener 50 metros de ancho y 100 metros de largo para maximizar el área en 5000 m².

**Verificación:**
Si probamos otros valores, el área es menor:
• x = 40: A = 40(120) = 4800 m²
• x = 60: A = 60(80) = 4800 m²
• x = 50: A = 50(100) = 5000 m² ✓ (máximo)

Este problema ilustra cómo las derivadas permiten resolver problemas de optimización en situaciones prácticas.

Porque un lado usa el granero, solo se cercan 3 lados

Porque A''(x) = -4 < 0 (concavidad hacia abajo)

Has dominado las reglas fundamentales de derivación algebraica. Estas herramientas te permiten calcular derivadas de funciones polinomiales y racionales de manera eficiente.

Aplicaciones: Velocidad/aceleración (física), costos marginales (economía), optimización (ingeniería), análisis de funciones (matemáticas).

En los próximos temas aprenderás a derivar funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, y a usar la regla de la cadena para funciones compuestas.

¿Qué es la Derivada?

Navegación Rápida