La elipse es una curva que aparece en muchos fenómenos naturales y aplicaciones tecnológicas: las órbitas planetarias, los reflectores elípticos en medicina, el diseño de jardines, estadios deportivos y galerías acústicas.

En geometría analítica, la elipse es un lugar geométrico: el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

Introducción

Lectura: Definición

DEFINICIÓN DE ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F₁ y F₂ (focos) es una constante igual a 2a. Matemáticamente: d(P, F₁) + d(P, F₂) = 2a Esta propiedad se puede visualizar con dos tachuelas (focos) y un hilo tenso: al mover un lápiz manteniendo el hilo tenso, se traza una elipse. ELEMENTOS PRINCIPALES 1. CENTRO (C) Es el punto medio entre los dos focos. • Coordenadas: C(h, k) en general, C(0, 0) cuando está en el origen • Es el punto de simetría de la elipse 2. FOCOS (F₁ y F₂) Son los dos puntos fijos que definen la elipse. • Están ubicados sobre el eje mayor • La distancia del centro a cada foco es c • Distancia entre focos: 2c (eje focal) 3. VÉRTICES (V₁ y V₂) Son los puntos donde la elipse intersecta el eje mayor. • Son los puntos de la elipse más alejados del centro • La distancia del centro a cada vértice es a • Distancia entre vértices: 2a (eje mayor) 4. EXTREMOS DEL EJE MENOR (B₁ y B₂) Son los puntos donde la elipse intersecta el eje menor. • Son los puntos de la elipse más cercanos al centro (perpendiculares al eje mayor) • La distancia del centro a cada extremo es b • Distancia entre extremos: 2b (eje menor) 5. EJE MAYOR Es el segmento de longitud 2a que pasa por el centro y los focos. • Contiene los vértices V₁ y V₂ • Es el eje de máxima dimensión de la elipse • Puede ser horizontal o vertical 6. EJE MENOR Es el segmento de longitud 2b perpendicular al eje mayor que pasa por el centro. • Contiene los extremos B₁ y B₂ • Es el eje de mínima dimensión de la elipse 7. EJE FOCAL Es el segmento de longitud 2c entre los focos F₁ y F₂. • Está contenido en el eje mayor • Siempre se cumple: c < a RELACIÓN FUNDAMENTAL Los parámetros a, b y c están relacionados por la ecuación pitagórica: a² = b² + c² Donde: • a = semieje mayor (distancia del centro al vértice) • b = semieje menor (distancia del centro al extremo del eje menor) • c = distancia del centro al foco Condiciones: • a > b (el semieje mayor siempre es mayor que el menor) • a > c (el semieje mayor es mayor que la distancia focal) • c > 0 (siempre hay dos focos distintos) EXCENTRICIDAD (e) La excentricidad mide qué tan "achatada" o "alargada" es la elipse: e = c/a Propiedades: • Siempre 0 < e < 1 para una elipse • Si e → 0: la elipse se aproxima a una circunferencia (c → 0) • Si e → 1: la elipse se alarga mucho (c → a) • e = 0 corresponde a una circunferencia perfecta LADO RECTO (LR) Es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por un foco: LR = 2b²/a Cada foco tiene un lado recto asociado.

Quiz: Definición

Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un foco y una directriz

Es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante

Lectura: Relación a²=b²+c²

RELACIÓN FUNDAMENTAL: a² = b² + c² Esta ecuación relaciona los tres parámetros fundamentales de la elipse y se deduce de la definición geométrica. Significado de cada parámetro: • a (semieje mayor): Distancia del centro a un vértice • b (semieje menor): Distancia del centro a un extremo del eje menor • c (distancia focal): Distancia del centro a un foco INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si trazamos un triángulo rectángulo con: • Hipotenusa = a (del centro a un vértice) • Un cateto = b (del centro a un extremo del eje menor) • Otro cateto = c (del centro a un foco) Se cumple el teorema de Pitágoras: a² = b² + c² USOS PRÁCTICOS 1. Calcular c conociendo a y b: c² = a² - b² c = √(a² - b²) Ejemplo: Si a = 5 y b = 3 c = √(25 - 9) = √16 = 4 2. Calcular b conociendo a y c: b² = a² - c² b = √(a² - c²) Ejemplo: Si a = 10 y c = 6 b = √(100 - 36) = √64 = 8 3. Calcular a conociendo b y c: a² = b² + c² a = √(b² + c²) Ejemplo: Si b = 3 y c = 4 a = √(9 + 16) = √25 = 5 RESTRICCIONES Para que exista una elipse real, se deben cumplir: 1. a > b: El semieje mayor debe ser mayor que el menor 2. a > c: El semieje mayor debe ser mayor que la distancia focal 3. a, b, c > 0: Todos los parámetros deben ser positivos CASOS ESPECIALES Caso 1: c = 0 Si c = 0, entonces a² = b², lo que implica a = b. • Los focos coinciden en el centro • La elipse se convierte en una circunferencia • Excentricidad e = 0 Caso 2: c → a Si c se aproxima a a, entonces b → 0. • La elipse se alarga mucho • Se aproxima a un segmento de recta • Excentricidad e → 1 APLICACIÓN EN ASTRONOMÍA Las órbitas planetarias son elípticas con el Sol en uno de los focos (Primera Ley de Kepler). Para la órbita de la Tierra: • a ≈ 149.6 millones de km (distancia promedio al Sol) • c ≈ 2.5 millones de km (distancia del centro orbital al Sol) • b = √(a² - c²) ≈ 149.6 millones de km • e ≈ 0.0167 (casi circular)

Quiz: Relación

Lectura: Centro origen

ELIPSE HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Ecuación canónica: x²/a² + y²/b² = 1 Características: • Centro: C(0, 0) • Eje mayor: sobre el eje X (horizontal) • Vértices: V₁(a, 0) y V₂(-a, 0) • Focos: F₁(c, 0) y F₂(-c, 0) • Extremos del eje menor: B₁(0, b) y B₂(0, -b) • Eje mayor: 2a (horizontal) • Eje menor: 2b (vertical) Cómo identificarla: El denominador mayor (a²) está debajo de x². Ejemplo: x²/25 + y²/9 = 1 • a² = 25 → a = 5 • b² = 9 → b = 3 • c = √(25 - 9) = 4 • Vértices: (±5, 0) • Focos: (±4, 0) • Elipse horizontal ELIPSE VERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Ecuación canónica: x²/b² + y²/a² = 1 Características: • Centro: C(0, 0) • Eje mayor: sobre el eje Y (vertical) • Vértices: V₁(0, a) y V₂(0, -a) • Focos: F₁(0, c) y F₂(0, -c) • Extremos del eje menor: B₁(b, 0) y B₂(-b, 0) • Eje mayor: 2a (vertical) • Eje menor: 2b (horizontal) Cómo identificarla: El denominador mayor (a²) está debajo de y². Ejemplo: x²/4 + y²/16 = 1 • a² = 16 → a = 4 (está debajo de y²) • b² = 4 → b = 2 • c = √(16 - 4) = √12 = 2√3 • Vértices: (0, ±4) • Focos: (0, ±2√3) • Elipse vertical REGLA PRÁCTICA PARA IDENTIFICAR ORIENTACIÓN 1. Compara los denominadores Identifica cuál es mayor: el de x² o el de y² 2. Determina a y b • a² = denominador mayor (siempre) • b² = denominador menor (siempre) 3. Identifica la orientación • Si a² está debajo de x² → HORIZONTAL • Si a² está debajo de y² → VERTICAL ADVERTENCIA COMÚN NO asumas que a² siempre está debajo de x². Debes comparar los denominadores primero. Ejemplo de error: x²/9 + y²/25 = 1 ❌ Incorrecto: a = 3, b = 5 (violando a > b) ✓ Correcto: a = 5 (debajo de y²), b = 3, elipse VERTICAL

Quiz: Orientación

El eje mayor siempre está sobre el eje X

Comparando los denominadores: el mayor indica la orientación del eje mayor

Quiz: Vértices

Quiz: Escribir ecuación

Lectura: Centro (h,k)

ELIPSE HORIZONTAL CON CENTRO EN C(h, k) Ecuación ordinaria: (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 Características: • Centro: C(h, k) • Eje mayor: paralelo al eje X • Vértices: V₁(h + a, k) y V₂(h - a, k) • Focos: F₁(h + c, k) y F₂(h - c, k) • Extremos del eje menor: B₁(h, k + b) y B₂(h, k - b) Ejemplo: (x - 2)²/25 + (y + 1)²/9 = 1 • h = 2, k = -1 → Centro: C(2, -1) • a² = 25 → a = 5 (horizontal) • b² = 9 → b = 3 • c = √(25 - 9) = 4 • Vértices: (2 ± 5, -1) = (7, -1) y (-3, -1) • Focos: (2 ± 4, -1) = (6, -1) y (-2, -1) ELIPSE VERTICAL CON CENTRO EN C(h, k) Ecuación ordinaria: (x - h)²/b² + (y - k)²/a² = 1 Características: • Centro: C(h, k) • Eje mayor: paralelo al eje Y • Vértices: V₁(h, k + a) y V₂(h, k - a) • Focos: F₁(h, k + c) y F₂(h, k - c) • Extremos del eje menor: B₁(h + b, k) y B₂(h - b, k) Ejemplo: (x + 3)²/16 + (y - 2)²/25 = 1 • h = -3, k = 2 → Centro: C(-3, 2) • a² = 25 → a = 5 (vertical) • b² = 16 → b = 4 • c = √(25 - 16) = 3 • Vértices: (-3, 2 ± 5) = (-3, 7) y (-3, -3) • Focos: (-3, 2 ± 3) = (-3, 5) y (-3, -1) CÓMO IDENTIFICAR h Y k En la forma (x - h)²/... + (y - k)²/... = 1: Cuidado con los signos: • (x - h): si es (x + 3), entonces h = -3 • (y - k): si es (y - 2), entonces k = 2 RESUMEN DE FÓRMULAS PARA ELEMENTOS Elipse horizontal (a² debajo de (x - h)²): • Vértices: (h ± a, k) • Focos: (h ± c, k) • Extremos eje menor: (h, k ± b) Elipse vertical (a² debajo de (y - k)²): • Vértices: (h, k ± a) • Focos: (h, k ± c) • Extremos eje menor: (h ± b, k)

Emparejar: Elementos

Lectura: Excentricidad

EXCENTRICIDAD: e = c/a La excentricidad es un parámetro adimensional que caracteriza la forma de la elipse. Fórmula: e = c/a Donde: • c = distancia del centro al foco • a = semieje mayor RANGO DE VALORES Para una elipse: 0 < e < 1 Casos extremos: 1. e → 0 (Excentricidad muy pequeña) • c → 0: los focos se acercan al centro • La elipse se aproxima a una circunferencia • Forma casi redonda 2. e → 1 (Excentricidad cercana a 1) • c → a: los focos se alejan del centro • La elipse se alarga mucho • Forma muy achatada 3. e = 0 (Caso límite) • c = 0: los focos coinciden en el centro • Es una circunferencia perfecta • No es una elipse propiamente dicha FÓRMULA ALTERNATIVA Usando a² = b² + c², podemos expresar: c² = a² - b² c = √(a² - b²) Entonces: e = √(a² - b²) / a = √(1 - b²/a²) EJEMPLO 1: Elipse casi circular Si a = 10 y b = 9.5: c = √(100 - 90.25) = √9.75 ≈ 3.12 e = 3.12/10 ≈ 0.31 Esta elipse es bastante cercana a un círculo. EJEMPLO 2: Elipse muy alargada Si a = 10 y b = 3: c = √(100 - 9) = √91 ≈ 9.54 e = 9.54/10 ≈ 0.95 Esta elipse está muy alargada. APLICACIÓN: ÓRBITAS PLANETARIAS Las excentricidades de las órbitas planetarias: • Mercurio: e ≈ 0.206 (más excéntrica) • Venus: e ≈ 0.007 (casi circular) • Tierra: e ≈ 0.017 (casi circular) • Marte: e ≈ 0.093 • Júpiter: e ≈ 0.048 • Plutón: e ≈ 0.248 (muy excéntrica, ya no planeta) La mayoría de las órbitas planetarias tienen excentricidades pequeñas, lo que significa que son casi circulares. APLICACIÓN: DISEÑO DE REFLECTORES Los reflectores elípticos se usan en medicina (litotripsia para romper cálculos renales). Si una fuente de ondas se coloca en un foco, todas las ondas reflejadas convergen en el otro foco. La excentricidad determina qué tan concentrado es el punto focal.

Quiz: Excentricidad

Quiz múltiple: Características

Los focos siempre están sobre el eje mayor

La suma de distancias de cualquier punto a los focos es igual a 2b

Determinar las coordenadas de vértices y focos según la orientación

Identificar cuál denominador es mayor para determinar la orientación

Asignar a² al denominador mayor y b² al menor

Calcular c usando la relación a² = b² + c²

Ordenar: Calcular elementos

Lectura: Forma general

FORMA GENERAL DE LA ELIPSE Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 Condiciones para que sea elipse: 1. A ≠ C: Los coeficientes de x² y y² son diferentes 2. Mismo signo: A y C tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) DIFERENCIA CON OTRAS CÓNICAS • Circunferencia: A = C (coeficientes iguales) • Elipse: A ≠ C, mismo signo • Hipérbola: A y C tienen signos opuestos • Parábola: Solo aparece x² O y² (no ambos) CONVERSIÓN A FORMA ORDINARIA El proceso requiere completar el trinomio cuadrado perfecto en x y en y. EJEMPLO COMPLETO Convertir 5x² + 9y² + 30x - 36y + 36 = 0 Paso 1: Agrupar términos 5x² + 30x + 9y² - 36y = -36 5(x² + 6x) + 9(y² - 4y) = -36 Paso 2: Completar TCP en x Para x² + 6x: agregar (6/2)² = 9 Paso 3: Completar TCP en y Para y² - 4y: agregar (-4/2)² = 4 Paso 4: Agregar a ambos lados 5(x² + 6x + 9) + 9(y² - 4y + 4) = -36 + 5(9) + 9(4) 5(x² + 6x + 9) + 9(y² - 4y + 4) = -36 + 45 + 36 5(x + 3)² + 9(y - 2)² = 45 Paso 5: Dividir para obtener 1 al lado derecho 5(x + 3)²/45 + 9(y - 2)²/45 = 1 (x + 3)²/9 + (y - 2)²/5 = 1 Paso 6: Identificar elementos • Centro: C(-3, 2) • a² = 9 → a = 3 (debajo de x², horizontal) • b² = 5 → b = √5 • c = √(9 - 5) = 2 • Vértices: (-3 ± 3, 2) = (0, 2) y (-6, 2) • Focos: (-3 ± 2, 2) = (-1, 2) y (-5, 2) VERIFICACIÓN Siempre verifica que: 1. a > b (de lo contrario, invertiste la asignación) 2. c < a (de lo contrario, hay error en cálculos) 3. La suma de los lados derecho es positiva antes de dividir

Quiz: Convertir

Quiz: Identificar cónica

Un cometa tiene una órbita elíptica alrededor del Sol. La ecuación de su órbita (en millones de kilómetros) con centro en el origen es: x²/2500 + y²/900 = 1 Análisis de la órbita: Paso 1: Identificar parámetros • a² = 2500 → a = 50 millones de km (debajo de x², horizontal) • b² = 900 → b = 30 millones de km • c = √(2500 - 900) = √1600 = 40 millones de km Paso 2: Calcular excentricidad e = c/a = 40/50 = 0.8 Esta es una órbita muy excéntrica (e = 0.8 está cerca de 1), lo que significa que la elipse está muy alargada. Paso 3: Ubicación del Sol Según la Primera Ley de Kepler, el Sol está en uno de los focos: F₁(40, 0) o F₂(-40, 0). Paso 4: Distancias extremas Perihelio (punto más cercano al Sol): Si el Sol está en F₁(40, 0), el perihelio es V₂(-50, 0) Distancia: |40 - (-50)| = 90 millones de km? No, usamos: d = a - c = 50 - 40 = 10 millones de km Afelio (punto más lejano del Sol): d = a + c = 50 + 40 = 90 millones de km Interpretación física: • El cometa se acerca hasta 10 millones de km del Sol (perihelio) • Se aleja hasta 90 millones de km del Sol (afelio) • La diferencia es enorme: ¡9 veces más lejos en el afelio! • Esta gran variación es característica de órbitas muy excéntricas Para comparar: la Tierra tiene e ≈ 0.017 (casi circular), con perihelio ~147 millones de km y afelio ~152 millones de km, una diferencia de solo 3%.

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