La hipérbola es una curva fascinante que aparece en fenómenos naturales y aplicaciones tecnológicas: la forma de ondas de choque supersónicas, trayectorias de cometas que no regresan, sistemas de navegación LORAN, y diseños arquitectónicos como torres de enfriamiento.

En geometría analítica, la hipérbola es un lugar geométrico: el conjunto de todos los puntos del plano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

Introducción

Lectura: Definición

DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F₁ y F₂ (focos) es una constante igual a 2a. Matemáticamente: |d(P, F₁) - d(P, F₂)| = 2a La hipérbola consta de dos ramas separadas, simétricas respecto al centro. ELEMENTOS PRINCIPALES 1. CENTRO (C) Es el punto medio entre los dos focos. • Coordenadas: C(h, k) en general, C(0, 0) cuando está en el origen • Es el punto de simetría de la hipérbola 2. FOCOS (F₁ y F₂) Son los dos puntos fijos que definen la hipérbola. • Están ubicados sobre el eje transverso (eje real) • La distancia del centro a cada foco es c • Distancia entre focos: 2c (eje focal) 3. VÉRTICES (V₁ y V₂) Son los puntos donde la hipérbola intersecta el eje transverso. • Son los puntos de la hipérbola más cercanos al centro • La distancia del centro a cada vértice es a • Distancia entre vértices: 2a (eje transverso o real) 4. EXTREMOS DEL EJE CONJUGADO (B₁ y B₂) Son puntos auxiliares que NO están en la hipérbola, pero ayudan a construirla. • La distancia del centro a cada extremo es b • Distancia entre extremos: 2b (eje conjugado o imaginario) • Se usan para trazar el rectángulo fundamental y las asíntotas 5. EJE TRANSVERSO (o eje real) Es el segmento de longitud 2a que pasa por el centro y los focos. • Contiene los vértices V₁ y V₂ • Las dos ramas de la hipérbola se abren a lo largo de este eje • Puede ser horizontal o vertical 6. EJE CONJUGADO (o eje imaginario) Es el segmento de longitud 2b perpendicular al eje transverso que pasa por el centro. • NO contiene puntos de la hipérbola • Se usa para construir las asíntotas 7. EJE FOCAL Es el segmento de longitud 2c entre los focos F₁ y F₂. • Está contenido en el eje transverso • Siempre se cumple: c > a (¡diferente de la elipse!) 8. ASÍNTOTAS Son dos rectas que pasan por el centro y a las cuales la hipérbola se aproxima infinitamente sin tocarlas. • Sirven como guía para dibujar la hipérbola • Las ramas de la hipérbola se acercan cada vez más a las asíntotas en el infinito RELACIÓN FUNDAMENTAL Los parámetros a, b y c están relacionados por: c² = a² + b² Donde: • a = semieje transverso (distancia del centro al vértice) • b = semieje conjugado • c = distancia del centro al foco Condiciones: • c > a (el foco está más lejos que el vértice, DIFERENTE de la elipse) • c > b • a, b, c > 0 EXCENTRICIDAD (e) La excentricidad mide qué tan "abierta" es la hipérbola: e = c/a Propiedades: • Siempre e > 1 para una hipérbola (¡diferente de la elipse!) • Si e → 1: la hipérbola se cierra (c → a, entonces b → 0) • Si e → ∞: la hipérbola se abre mucho (c muy grande) LADO RECTO (LR) Es la cuerda perpendicular al eje transverso que pasa por un foco: LR = 2b²/a Cada foco tiene un lado recto asociado. DIFERENCIA CLAVE CON LA ELIPSE Elipse: • SUMA de distancias a los focos es constante • a² = b² + c² • a > c (vértice más lejos que foco) • 0 < e < 1 • Una curva cerrada Hipérbola: • DIFERENCIA de distancias a los focos es constante • c² = a² + b² • c > a (foco más lejos que vértice) • e > 1 • Dos ramas abiertas

Quiz: Definición

Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro

Es el lugar geométrico de los puntos tal que el valor absoluto de la diferencia de distancias a dos focos es constante

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un foco y una directriz

Lectura: Relación c²=a²+b²

RELACIÓN FUNDAMENTAL: c² = a² + b² Esta ecuación relaciona los tres parámetros fundamentales de la hipérbola. Significado de cada parámetro: • a (semieje transverso): Distancia del centro a un vértice • b (semieje conjugado): Distancia del centro a un extremo del eje conjugado • c (distancia focal): Distancia del centro a un foco DIFERENCIA CON LA ELIPSE Elipse: a² = b² + c² • El semieje mayor (a) es la hipotenusa • c < a (foco más cerca que vértice) Hipérbola: c² = a² + b² • La distancia focal (c) es la hipotenusa • c > a (foco más lejos que vértice) USOS PRÁCTICOS 1. Calcular c conociendo a y b: c² = a² + b² c = √(a² + b²) Ejemplo: Si a = 3 y b = 4 c = √(9 + 16) = √25 = 5 2. Calcular b conociendo a y c: b² = c² - a² b = √(c² - a²) Ejemplo: Si a = 3 y c = 5 b = √(25 - 9) = √16 = 4 3. Calcular a conociendo b y c: a² = c² - b² a = √(c² - b²) Ejemplo: Si b = 4 y c = 5 a = √(25 - 16) = √9 = 3 RESTRICCIONES Para que exista una hipérbola real, se deben cumplir: 1. c > a: La distancia focal debe ser mayor que el semieje transverso 2. c > b: La distancia focal debe ser mayor que el semieje conjugado 3. a, b, c > 0: Todos los parámetros deben ser positivos NOTA IMPORTANTE A diferencia de la elipse, en la hipérbola NO se requiere que a > b. • En la elipse: siempre a > b (a es el mayor) • En la hipérbola: puede ser a > b, a = b, o a INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si trazamos un triángulo rectángulo con: • Hipotenusa = c (del centro a un foco) • Un cateto = a (del centro a un vértice) • Otro cateto = b (del centro a un extremo del eje conjugado) Se cumple el teorema de Pitágoras: c² = a² + b² CONSECUENCIA PARA LA EXCENTRICIDAD Como c² = a² + b², entonces c² > a², por lo tanto c > a. Esto implica que e = c/a > 1 siempre en una hipérbola.

Quiz: Relación

Lectura: Centro origen

HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Ecuación canónica: x²/a² - y²/b² = 1 Características: • Centro: C(0, 0) • Eje transverso: sobre el eje X (horizontal) • Vértices: V₁(a, 0) y V₂(-a, 0) • Focos: F₁(c, 0) y F₂(-c, 0) • Extremos del eje conjugado: B₁(0, b) y B₂(0, -b) [NO en la hipérbola] • Asíntotas: y = ±(b/a)x Cómo identificarla: El término con x² es POSITIVO (el de y² es negativo). Ejemplo: x²/16 - y²/9 = 1 • a² = 16 → a = 4 (bajo x² positivo) • b² = 9 → b = 3 • c = √(16 + 9) = 5 • Vértices: (±4, 0) • Focos: (±5, 0) • Asíntotas: y = ±(3/4)x HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Ecuación canónica: y²/a² - x²/b² = 1 Características: • Centro: C(0, 0) • Eje transverso: sobre el eje Y (vertical) • Vértices: V₁(0, a) y V₂(0, -a) • Focos: F₁(0, c) y F₂(0, -c) • Extremos del eje conjugado: B₁(b, 0) y B₂(-b, 0) [NO en la hipérbola] • Asíntotas: y = ±(a/b)x Cómo identificarla: El término con y² es POSITIVO (el de x² es negativo). Ejemplo: y²/25 - x²/9 = 1 • a² = 25 → a = 5 (bajo y² positivo) • b² = 9 → b = 3 • c = √(25 + 9) = √34 • Vértices: (0, ±5) • Focos: (0, ±√34) • Asíntotas: y = ±(5/3)x REGLA PRÁCTICA PARA IDENTIFICAR ORIENTACIÓN Observa el signo: • Si x²/... - y²/... = 1 (x² positivo) → HORIZONTAL • Si y²/... - x²/... = 1 (y² positivo) → VERTICAL Regla mnemotécnica: "El término positivo indica la dirección del eje transverso" ASÍNTOTAS Las asíntotas son fundamentales para graficar la hipérbola. Hipérbola horizontal (x²/a² - y²/b² = 1): y = (b/a)x y y = -(b/a)x O más compacto: y = ±(b/a)x Hipérbola vertical (y²/a² - x²/b² = 1): y = (a/b)x y y = -(a/b)x O más compacto: y = ±(a/b)x CONSTRUCCIÓN GRÁFICA 1. Trazar el rectángulo fundamental de dimensiones 2a × 2b centrado en el origen 2. Trazar las diagonales del rectángulo: estas son las asíntotas 3. Dibujar la hipérbola pasando por los vértices y aproximándose a las asíntotas ADVERTENCIA COMÚN NO confundas cuál parámetro es a y cuál es b:r/>• a está bajo el término POSITIVO (x² o y²) • b está bajo el término NEGATIVO En la hipérbola, a puede ser mayor, igual o menor que b.

Quiz: Orientación

Por el término que tiene el coeficiente positivo

Quiz: Vértices

Lectura: Asíntotas

ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA Las asíntotas son dos rectas que pasan por el centro y a las cuales las ramas de la hipérbola se acercan infinitamente sin tocarlas jamás. HIPÉRBOLA HORIZONTAL: x²/a² - y²/b² = 1 Ecuaciones de las asíntotas: y = (b/a)x y y = -(b/a)x Forma compacta: y = ±(b/a)x Pendientes: m = b/a y m = -b/a Ejemplo: x²/16 - y²/9 = 1 • a = 4, b = 3 • Asíntotas: y = (3/4)x y y = -(3/4)x HIPÉRBOLA VERTICAL: y²/a² - x²/b² = 1 Ecuaciones de las asíntotas: y = (a/b)x y y = -(a/b)x Forma compacta: y = ±(a/b)x Pendientes: m = a/b y m = -a/b Ejemplo: y²/25 - x²/9 = 1 • a = 5, b = 3 • Asíntotas: y = (5/3)x y y = -(5/3)x HIPÉRBOLA CON CENTRO EN C(h, k) Horizontal: (x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 Asíntotas: y - k = ±(b/a)(x - h) Vertical: (y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1 Asíntotas: y - k = ±(a/b)(x - h) Ejemplo: (x - 2)²/9 - (y + 1)²/4 = 1 • Centro: C(2, -1) • a = 3, b = 2 (horizontal) • Asíntotas: y + 1 = ±(2/3)(x - 2) MÉTODO PRÁCTICO: RECTÁNGULO FUNDAMENTAL Para graficar las asíntotas fácilmente: 1. Ubicar el centro C(h, k) 2. Trazar el rectángulo fundamental: • Horizontal: vértices en (h ± a, k ± b) • Vertical: vértices en (h ± b, k ± a) 3. Trazar las diagonales del rectángulo: Estas son las asíntotas 4. Dibujar la hipérbola: Pasa por los vértices y se aproxima a las asíntotas PROPIEDADES DE LAS ASÍNTOTAS 1. Pasan por el centro: Siempre cruzan en C(h, k) 2. Son perpendiculares entre sí solo si a = b: • Si a = b, las pendientes son ±1, formando 45° con los ejes • Si a ≠ b, las asíntotas no son perpendiculares 3. Simetría: Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes de la hipérbola 4. Guía visual: Cuanto más lejos del centro, más se acerca la hipérbola a sus asíntotas DEDUCCIÓN DE LAS ASÍNTOTAS Para x²/a² - y²/b² = 1: Despejando y²: y²/b² = x²/a² - 1 y² = (b²/a²)(x² - a²) Cuando x → ±∞, el término -a² se vuelve despreciable: y² ≈ (b²/a²)x² y ≈ ±(b/a)x Estas son las asíntotas.

Emparejar: Elementos

Quiz: Asíntotas

Lectura: Excentricidad

EXCENTRICIDAD: e = c/a La excentricidad caracteriza la forma de la hipérbola. Fórmula: e = c/a Donde: • c = distancia del centro al foco • a = semieje transverso RANGO DE VALORES Para una hipérbola: e > 1 (siempre) Esto se debe a que c² = a² + b², entonces c² > a², por lo tanto c > a, y así e = c/a > 1. INTERPRETACIÓN 1. e cercana a 1 (e ligeramente mayor que 1) • c ≈ a: el foco está cerca del vértice • b pequeño: el eje conjugado es corto • La hipérbola está "cerrada" (las ramas están muy juntas) • Las asíntotas forman un ángulo pequeño Ejemplo: a = 10, b = 1 c = √(100 + 1) ≈ 10.05 e ≈ 1.005 (muy cercana a 1) 2. e grande (e >> 1) • c >> a: el foco está muy lejos del vértice • b grande: el eje conjugado es largo • La hipérbola está muy "abierta" (las ramas están separadas) • Las asíntotas forman un ángulo grande Ejemplo: a = 3, b = 10 c = √(9 + 100) ≈ 10.44 e ≈ 3.48 (muy grande) 3. e = √2 (Caso especial) • Cuando a = b, se cumple c = √(a² + a²) = a√2 • e = a√2/a = √2 ≈ 1.414 • Las asíntotas son perpendiculares (forman 90°) • Se llama hipérbola equilátera FÓRMULA ALTERNATIVA Usando c² = a² + b²: e = √(a² + b²) / a = √(1 + b²/a²) Esto muestra claramente que e > 1 siempre (ya que b²/a² > 0). COMPARACIÓN: ELIPSE vs HIPÉRBOLA Elipse: • e = c/a con 0 < e < 1 • e → 0: casi circular • e → 1: muy alargada Hipérbola: • e = c/a con e > 1 • e → 1: casi cerrada • e → ∞: muy abierta APLICACIÓN: TRAYECTORIAS ASTRONÓMICAS Las trayectorias de objetos en el espacio dependen de la excentricidad: • e = 0: Órbita circular • 0 < e < 1: Órbita elíptica (planetas, satélites) • e = 1: Trayectoria parabólica (escape del sistema solar) • e > 1: Trayectoria hiperbólica (cometas que no regresan, sondas espaciales) Ejemplos: • Tierra: e ≈ 0.017 (elipse casi circular) • Cometa Halley: e ≈ 0.967 (elipse muy alargada, pero aún elipse) • Oumuamua (objeto interestelar): e > 1 (trayectoria hiperbólica, pasó una sola vez)

Quiz: Excentricidad

Lectura: Centro (h,k)

HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN C(h, k) Ecuación ordinaria: (x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 Características: • Centro: C(h, k) • Eje transverso: paralelo al eje X • Vértices: V₁(h + a, k) y V₂(h - a, k) • Focos: F₁(h + c, k) y F₂(h - c, k) • Extremos del eje conjugado: B₁(h, k + b) y B₂(h, k - b) • Asíntotas: y - k = ±(b/a)(x - h) Ejemplo: (x - 1)²/4 - (y - 2)²/9 = 1 • h = 1, k = 2 → Centro: C(1, 2) • a² = 4 → a = 2 (horizontal) • b² = 9 → b = 3 • c = √(4 + 9) = √13 • Vértices: (1 ± 2, 2) = (3, 2) y (-1, 2) • Focos: (1 ± √13, 2) • Asíntotas: y - 2 = ±(3/2)(x - 1) HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO EN C(h, k) Ecuación ordinaria: (y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1 Características: • Centro: C(h, k) • Eje transverso: paralelo al eje Y • Vértices: V₁(h, k + a) y V₂(h, k - a) • Focos: F₁(h, k + c) y F₂(h, k - c) • Extremos del eje conjugado: B₁(h + b, k) y B₂(h - b, k) • Asíntotas: y - k = ±(a/b)(x - h) Ejemplo: (y + 3)²/9 - (x - 2)²/16 = 1 • h = 2, k = -3 → Centro: C(2, -3) • a² = 9 → a = 3 (vertical) • b² = 16 → b = 4 • c = √(9 + 16) = 5 • Vértices: (2, -3 ± 3) = (2, 0) y (2, -6) • Focos: (2, -3 ± 5) = (2, 2) y (2, -8) • Asíntotas: y + 3 = ±(3/4)(x - 2) RESUMEN DE FÓRMULAS Hipérbola horizontal: • Vértices: (h ± a, k) • Focos: (h ± c, k) • Asíntotas: y - k = ±(b/a)(x - h) Hipérbola vertical: • Vértices: (h, k ± a) • Focos: (h, k ± c) • Asíntotas: y - k = ±(a/b)(x - h)

Quiz múltiple: Características

La hipérbola toca sus asíntotas en el infinito

Calcular las ecuaciones de las asíntotas

Identificar cuál término es positivo para determinar la orientación

Asignar a² al denominador del término positivo y b² al del negativo

Determinar las coordenadas de vértices y focos según la orientación

Calcular c usando la relación c² = a² + b²

Ordenar: Calcular elementos

Lectura: Forma general

FORMA GENERAL DE LA HIPÉRBOLA Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 Condición para que sea hipérbola: A y C tienen signos opuestos • Si A > 0 y C < 0: hipérbola horizontal • Si A < 0 y C > 0: hipérbola vertical DIFERENCIA CON OTRAS CÓNICAS • Circunferencia: A = C, mismo signo • Elipse: A ≠ C, mismo signo • Hipérbola: A y C tienen signos opuestos • Parábola: Solo aparece x² O y² CONVERSIÓN A FORMA ORDINARIA EJEMPLO COMPLETO Convertir 9x² - 4y² + 18x - 24y + 9 = 0 Paso 1: Identificar tipo A = 9 > 0, C = -4 < 0 → Signos opuestos → Hipérbola Paso 2: Agrupar términos 9x² + 18x - 4y² - 24y = -9 9(x² + 2x) - 4(y² + 6y) = -9 Paso 3: Completar TCP Para x² + 2x: agregar (2/2)² = 1 Para y² + 6y: agregar (6/2)² = 9 Paso 4: Agregar a ambos lados 9(x² + 2x + 1) - 4(y² + 6y + 9) = -9 + 9(1) - 4(9) 9(x + 1)² - 4(y + 3)² = -9 + 9 - 36 9(x + 1)² - 4(y + 3)² = -36 Paso 5: Dividir para obtener 1 CUIDADO: Dividir por -36 (negativo) 9(x + 1)²/(-36) - 4(y + 3)²/(-36) = 1 (x + 1)²/(-4) - (y + 3)²/(-9) = 1 -(x + 1)²/4 + (y + 3)²/9 = 1 Paso 6: Reordenar (término positivo primero) (y + 3)²/9 - (x + 1)²/4 = 1 Paso 7: Identificar elementos • Centro: C(-1, -3) • a² = 9 → a = 3 (bajo y², vertical) • b² = 4 → b = 2 • c = √(9 + 4) = √13 • Vértices: (-1, -3 ± 3) = (-1, 0) y (-1, -6) • Focos: (-1, -3 ± √13) • Asíntotas: y + 3 = ±(3/2)(x + 1) ADVERTENCIA IMPORTANTE Al dividir por un número negativo, los signos cambian: • 9x²/(-36) = -x²/4 • -4y²/(-36) = y²/9 Siempre reorganiza para que el término positivo quede primero.

Quiz: Convertir

Quiz: Identificar cónica

El sistema LORAN (LOng RAnge Navigation) utilizaba la propiedad de la hipérbola para determinar la posición de barcos y aviones. Principio de funcionamiento: Dos estaciones transmisoras A y B envían señales de radio simultáneamente. Un receptor mide la diferencia de tiempo de llegada de ambas señales. • Estación A en F₁(0, 0) • Estación B en F₂(600, 0) (600 km de distancia) Si la señal de A llega 0.002 segundos antes que la de B: Cálculo de la diferencia de distancias: Velocidad de las ondas de radio: c = 300,000 km/s Diferencia de distancias: d₁ - d₂ = c × Δt = 300,000 × 0.002 = 600 km Pero la definición de hipérbola dice: |d₁ - d₂| = 2a Por lo tanto: 2a = 600 → a = 300 km Ubicación del receptor: El receptor está en algún punto de una hipérbola con: • Focos en F₁(0, 0) y F₂(600, 0) • a = 300 km • c = 300 km (distancia del centro a cada foco) Calculando b: c² = a² + b² 300² = 300² + b² b² = 0 b = 0 Esto indica que la hipérbola degenera en dos rayos (caso límite). En un caso más realista: Si Δt = 0.001 s: 2a = 300,000 × 0.001 = 300 km → a = 150 km c = 300 km (mitad de la distancia entre estaciones) c² = a² + b² → 90,000 = 22,500 + b² → b = √67,500 ≈ 260 km Ecuación de la hipérbola: x²/22,500 - y²/67,500 = 1 (centrada en (300, 0)) Con una segunda pareja de estaciones, se obtiene otra hipérbola. La intersección de ambas hipérbolas da la posición exacta del receptor.

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