La **integral** es la operación inversa de la derivada. Si la derivada mide la razón de cambio, la integral mide la **acumulación** o el **total**.

Relación fundamental: Si F'(x) = f(x), entonces ∫f(x)dx = F(x) + C, donde C es una constante arbitraria.

**Ejemplo**: Como d/dx(x²) = 2x, entonces ∫2x dx = x² + C

En este tema nos enfocaremos en **integrales indefinidas inmediatas**, es decir, integrales que se resuelven directamente aplicando fórmulas conocidas.

La **regla de la potencia** es la más importante para integración algebraica. Es la inversa de la regla de la potencia para derivadas.

**Procedimiento**: Suma 1 al exponente, luego divide entre el nuevo exponente.

Excepción: ∫x⁻¹ dx = ∫(1/x)dx = ln|x| + C (no se usa la regla de la potencia cuando n = -1)

**Verificación**: Puedes verificar tu respuesta derivando. Si ∫x² dx = x³/3 + C, entonces d/dx(x³/3 + C) = 3x²/3 = x² ✓

Al igual que con las derivadas, hay reglas que simplifican la integración de combinaciones de funciones:

**1. Constante multiplicativa**: La constante sale de la integral

Ejemplo: ∫5x² dx = 5∫x² dx = 5·(x³/3) + C = (5x³)/3 + C

**2. Suma y resta**: La integral de una suma es la suma de las integrales

Ejemplo: ∫(x³ + 2x)dx = ∫x³ dx + ∫2x dx = x⁴/4 + x² + C

Importante: Solo necesitamos UNA constante C al final, no una constante por cada término integrado.

Las integrales de funciones trigonométricas son las inversas de sus derivadas. Debes memorizar estas fórmulas fundamentales:

Nota: ∫sen x dx = -cos x tiene signo negativo. Puedes verificarlo: d/dx(-cos x) = sen x ✓

1) ∫(sen x + cos x)dx = -cos x + sen x + C

3) ∫(2 sen x - 5 cos x)dx = -2 cos x - 5 sen x + C

Esta tabla resume las integrales inmediatas más importantes. Es fundamental memorizarlas y practicar su aplicación.

**INTEGRALES ALGEBRAICAS**

1. ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C  (n ≠ -1)
   Regla de la potencia

2. ∫(1/x)dx = ln|x| + C
   Caso especial cuando n = -1

3. ∫k dx = kx + C
   Integral de una constante

4. ∫e^x dx = e^x + C
   La exponencial natural se integra a sí misma

5. ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C  (a > 0, a ≠ 1)
   Exponencial base a

**INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS**

6. ∫sen x dx = -cos x + C
   Nota el signo negativo

7. ∫cos x dx = sen x + C
   La integral del coseno es seno

8. ∫sec² x dx = tan x + C
   Inversa de d/dx(tan x)

9. ∫csc² x dx = -cot x + C
   Con signo negativo

10. ∫sec x tan x dx = sec x + C
    Derivada de secante al revés

11. ∫csc x cot x dx = -csc x + C
    Con signo negativo

12. ∫tan x dx = -ln|cos x| + C = ln|sec x| + C
    Integral menos inmediata (requiere sustitución)

13. ∫cot x dx = ln|sen x| + C
    También requiere sustitución

14. ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
    Fórmula especial

**PROPIEDADES DE INTEGRACIÓN**

P1. ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
    Linealidad: suma/resta

P2. ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx
    Linealidad: constante multiplicativa

P3. Si F'(x) = f(x), entonces ∫f(x)dx = F(x) + C
    Definición de antiderivada

P4. d/dx[∫f(x)dx] = f(x)
    Teorema Fundamental del Cálculo (primera parte)

P5. ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
    Teorema Fundamental del Cálculo (segunda parte)

**CONSEJOS DE USO**

• Siempre verifica tu respuesta derivando
• No olvides la constante +C en integrales indefinidas
• Para integrales definidas, evalúa F(b) - F(a)
• Si la integral tiene una constante k, sácala fuera
• Divide la integral de sumas término por término
• Para integrales más complicadas, considera sustitución u = g(x)

**EJEMPLO COMPLETO**

Integrar: ∫(3x² - 4sen x + 5/x)dx

Paso 1: Separar en suma de integrales
= ∫3x² dx - ∫4sen x dx + ∫5/x dx

Paso 2: Sacar constantes
= 3∫x² dx - 4∫sen x dx + 5∫(1/x)dx

Paso 3: Aplicar fórmulas
= 3(x³/3) - 4(-cos x) + 5 ln|x| + C

Paso 4: Simplificar
= x³ + 4 cos x + 5 ln|x| + C

**Verificación por derivación**:
d/dx[x³ + 4 cos x + 5 ln|x| + C]
= 3x² - 4 sen x + 5/x ✓

Esta tabla es tu herramienta fundamental para resolver integrales inmediatas. Memoriza las fórmulas y practica su aplicación regular.

Veamos cómo integrar funciones que combinan términos algebraicos y trigonométricos usando las reglas de suma y constante multiplicativa.

**Ejemplo 3**: ∫(x² + 1/x² + cos x)dx

Reescribimos: √x = x^(1/2), 1/√x = x^(-1/2)

La integral es la operación inversa de la derivada

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Siempre debemos incluir +C en integrales indefinidas

Sacar constantes: 2∫x³ dx - 5∫sen x dx

Separar en suma: ∫2x³ dx - ∫5 sen x dx

Aplicar fórmulas: 2(x⁴/4) - 5(-cos x) + C

Una de las aplicaciones más importantes de la integral es calcular el **área bajo una curva**. Veamos un ejemplo concreto.

**Problema**: Encuentra el área bajo la curva y = x² desde x = 0 hasta x = 3.

**Solución usando integral definida**:

El área bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b está dada por:

Área = ∫ₐᵇ f(x)dx

Para nuestro problema:
Área = ∫₀³ x² dx

**Paso 1**: Encontrar la antiderivada (integral indefinida)
∫x² dx = x³/3 + C

**Paso 2**: Evaluar en los límites (Teorema Fundamental del Cálculo)
Área = [x³/3]₀³ = F(3) - F(0)

donde F(x) = x³/3

**Paso 3**: Calcular
F(3) = 3³/3 = 27/3 = 9
F(0) = 0³/3 = 0

Área = 9 - 0 = 9 unidades cuadradas

**Interpretación geométrica**:
La región bajo la parábola y = x² desde el origen hasta x = 3 tiene área exactamente 9 unidades cuadradas. Si graficamos, vemos que la curva crece rápidamente, y la integral nos da el área total de esa región curva.

**Ejemplo 2**: Área bajo y = sen x desde x = 0 hasta x = π

Área = ∫₀^π sen x dx
= [-cos x]₀^π
= -cos(π) - (-cos(0))
= -(-1) - (-1)
= 1 + 1
= 2 unidades cuadradas

Esto representa un arco completo de la función seno (medio ciclo), y su área es exactamente 2.

**Aplicaciones prácticas**:

1. **Física**: Si v(t) es la velocidad, ∫₀ᵗ v(t)dt es el desplazamiento total.

2. **Economía**: Si I'(x) es el ingreso marginal, ∫₀ˣ I'(x)dx es el ingreso total.

3. **Probabilidad**: La integral de una función de densidad de probabilidad sobre un intervalo da la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en ese intervalo.

4. **Ingeniería**: Calcular trabajo (W = ∫F dx), momento de inercia, centro de masa, etc.

5. **Medicina**: Área bajo la curva de concentración de un fármaco en sangre vs. tiempo (AUC) mide la exposición total al medicamento.

**Teorema Fundamental del Cálculo**:

Este teorema conecta derivadas e integrales:

Parte 1: Si F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt, entonces F'(x) = f(x)
(Derivar una integral devuelve la función original)

Parte 2: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) donde F' = f
(Evaluar la antiderivada en los límites)

Este teorema es uno de los más importantes en todo el cálculo, conectando los dos conceptos fundamentales: derivadas (razón de cambio) e integrales (acumulación).

Has aprendido los fundamentos de la integración, la operación inversa de la derivación. Las integrales inmediatas son la base del cálculo integral.

Aplicaciones: Área bajo curvas, desplazamiento total, acumulación, trabajo, probabilidad, y muchas más en ciencia e ingeniería.

El Teorema Fundamental del Cálculo conecta derivadas e integrales, mostrando que son operaciones inversas. Esto permite calcular áreas mediante antiderivadas.

Con estas bases estás preparado para estudiar técnicas de integración más avanzadas como sustitución, integración por partes, fracciones parciales, y aplicaciones más complejas del cálculo integral.

¿Qué es la Integral?

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