Dos rectas en el plano pueden tener diferentes comportamientos al relacionarse entre sí. El estudio de su intersección nos permite resolver problemas prácticos en economía, física, ingeniería y la vida cotidiana.

La intersección de dos rectas corresponde al punto (o puntos) donde ambas se encuentran. Encontrar este punto equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Introducción

Lectura: Sistemas

DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2x2 Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se expresa como: Forma general: A₁x + B₁y + C₁ = 0 A₂x + B₂y + C₂ = 0 Donde A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ son constantes conocidas, y x, y son las incógnitas que debemos encontrar. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Cada ecuación del sistema representa una recta en el plano cartesiano. La solución del sistema corresponde al punto (o puntos) donde ambas rectas se intersectan. TRES CASOS POSIBLES 1. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (Solución única) Las dos rectas se intersectan en un solo punto. El sistema tiene una solución única (x₀, y₀). • Condición: Las pendientes son diferentes (m₁ ≠ m₂) • Ejemplo: y = 2x + 1 y y = -x + 4 se intersectan en (1, 3) 2. SISTEMA INCOMPATIBLE (Sin solución) Las dos rectas son paralelas y nunca se intersectan. El sistema no tiene solución. • Condición: Las pendientes son iguales pero las ordenadas son diferentes (m₁ = m₂, b₁ ≠ b₂) • Ejemplo: y = 2x + 1 y y = 2x + 5 son paralelas 3. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (Infinitas soluciones) Las dos rectas son coincidentes (la misma recta). El sistema tiene infinitas soluciones. • Condición: Las ecuaciones son equivalentes (proporcionales) • Ejemplo: 2x - y = 3 y 4x - 2y = 6 representan la misma recta MÉTODOS DE SOLUCIÓN Existen cuatro métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones lineales: 1. Método gráfico: Trazar ambas rectas y localizar su punto de intersección 2. Método de sustitución: Despejar una variable de una ecuación y sustituir en la otra 3. Método de eliminación (reducción): Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable 4. Método de igualación: Despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar Cada método tiene ventajas según la forma del sistema. En problemas prácticos, el contexto determina qué método es más conveniente.

Quiz: Casos

Que tengan la misma pendiente y diferente ordenada

Lectura: Sustitución

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Procedimiento: 1. Elegir una ecuación (generalmente la más sencilla) y despejar una de las variables (x o y). 2. Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 3. Resolver la ecuación resultante que tiene una sola incógnita. 4. Sustituir el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable. 5. Verificar la solución sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones originales. EJEMPLO Resolver el sistema: 2x + y = 7 ... (1) x - y = 2 ... (2) Paso 1: Despejamos y de la ecuación (1): y = 7 - 2x Paso 2: Sustituimos en la ecuación (2): x - (7 - 2x) = 2 x - 7 + 2x = 2 3x - 7 = 2 Paso 3: Resolvemos para x: 3x = 2 + 7 3x = 9 x = 3 Paso 4: Sustituimos x = 3 en y = 7 - 2x: y = 7 - 2(3) y = 7 - 6 y = 1 Solución: (3, 1) Paso 5: Verificación en ambas ecuaciones: 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7 ✓ 3 - 1 = 2 ✓ Interpretación: Las rectas se intersectan en el punto (3, 1).

Quiz: Sustitución

Lectura: Eliminación

MÉTODO DE ELIMINACIÓN (REDUCCIÓN) Procedimiento: 1. Igualar coeficientes: Multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes apropiadas de modo que los coeficientes de una misma variable sean iguales o opuestos. 2. Sumar o restar: Sumar las ecuaciones si los coeficientes son opuestos, o restar si son iguales. Esto eliminará una variable. 3. Resolver: Resolver la ecuación resultante que tiene una sola incógnita. 4. Sustituir: Sustituir el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la otra variable. 5. Verificar: Comprobar la solución en ambas ecuaciones originales. EJEMPLO Resolver el sistema: 2x + 3y = 13 ... (1) 4x - y = 5 ... (2) Estrategia: Eliminemos y multiplicando la ecuación (2) por 3: Ecuación (1): 2x + 3y = 13 Ecuación (2) × 3: 12x - 3y = 15 Sumamos ambas ecuaciones: 2x + 3y = 13 12x - 3y = 15 _______________ 14x + 0 = 28 14x = 28 x = 2 Sustituimos x = 2 en la ecuación (1): 2(2) + 3y = 13 4 + 3y = 13 3y = 9 y = 3 Solución: (2, 3) Verificación: Ecuación (1): 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 ✓ Ecuación (2): 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5 ✓ VENTAJA: Este método es especialmente útil cuando los coeficientes ya son opuestos o fáciles de igualar.

Quiz: Eliminación

Multiplicar la primera ecuación por 5 y la segunda por 3

Restar la segunda ecuación de la primera

Lectura: Igualación

MÉTODO DE IGUALACIÓN Procedimiento: 1. Despejar la misma variable (x o y) de ambas ecuaciones. 2. Igualar las dos expresiones obtenidas. 3. Resolver la ecuación resultante. 4. Sustituir el valor encontrado en cualquiera de los despejes para hallar la otra variable. 5. Verificar la solución. EJEMPLO Resolver el sistema: 2x + y = 9 ... (1) x + 3y = 13 ... (2) Paso 1: Despejamos x de ambas ecuaciones: De (1): 2x = 9 - y → x = (9 - y)/2 De (2): x = 13 - 3y Paso 2: Igualamos las expresiones: (9 - y)/2 = 13 - 3y Paso 3: Resolvemos: 9 - y = 2(13 - 3y) 9 - y = 26 - 6y -y + 6y = 26 - 9 5y = 17 y = 17/5 Paso 4: Sustituimos y = 17/5 en x = 13 - 3y: x = 13 - 3(17/5) x = 13 - 51/5 x = 65/5 - 51/5 x = 14/5 Solución: (14/5, 17/5) = (2.8, 3.4) Verificación: 2(14/5) + 17/5 = 28/5 + 17/5 = 45/5 = 9 ✓ 14/5 + 3(17/5) = 14/5 + 51/5 = 65/5 = 13 ✓ VENTAJA: Este método es útil cuando es fácil despejar la misma variable de ambas ecuaciones.

Quiz: Igualación

Lectura: Método gráfico

MÉTODO GRÁFICO Procedimiento: 1. Expresar en forma y = mx + b: Convertir ambas ecuaciones a la forma ordinaria para identificar pendiente y ordenada al origen. 2. Trazar las rectas: Graficar cada ecuación en el mismo plano cartesiano. 3. Localizar la intersección: Identificar el punto donde las rectas se cruzan. 4. Leer las coordenadas: El punto de intersección (x₀, y₀) es la solución del sistema. EJEMPLO Resolver gráficamente: x + y = 5 ... (1) 2x - y = 1 ... (2) Paso 1: Convertimos a forma ordinaria: De (1): y = -x + 5 (pendiente m = -1, ordenada b = 5) De (2): -y = 1 - 2x → y = 2x - 1 (pendiente m = 2, ordenada b = -1) Paso 2: Trazamos ambas rectas: Para y = -x + 5: • Si x = 0, entonces y = 5 → punto (0, 5) • Si x = 5, entonces y = 0 → punto (5, 0) Para y = 2x - 1: • Si x = 0, entonces y = -1 → punto (0, -1) • Si x = 1, entonces y = 1 → punto (1, 1) Paso 3: Las rectas se intersectan en el punto (2, 3) Solución: x = 2, y = 3 Verificación: 2 + 3 = 5 ✓ 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 ✓ VENTAJAS: Proporciona una visualización clara del problema. DESVENTAJAS: Puede ser impreciso si la solución no tiene coordenadas enteras. No recomendado para soluciones con fracciones o decimales.

Emparejar: Métodos

Quiz: Problema Carmen

La propuesta 2 siempre genera mayor sueldo

Las propuestas generan el mismo sueldo al vender exactamente 1000 playeras

La propuesta 1 genera mayor sueldo al vender más de 1000 playeras

La propuesta 2 genera mayor sueldo al vender menos de 500 playeras

Quiz múltiple: Casos

Dos rectas con pendientes diferentes siempre se intersectan en un punto

Si las ecuaciones son proporcionales, las rectas son coincidentes

Si dos rectas tienen la misma pendiente y diferente ordenada, son paralelas

Un sistema incompatible tiene infinitas soluciones

Sustituir el valor hallado para encontrar la otra variable

Sustituir la expresión en la otra ecuación

Elegir una ecuación y despejar una variable

Resolver la ecuación con una sola incógnita

Verificar la solución en ambas ecuaciones originales

Ordenar: Sustitución

Quiz: Paralelas

Quiz: Coincidentes

Quiz: Resolver 1

Quiz: Resolver 2

Quiz: Resolver 3

Una tienda de electrónica vendió tablets y laptops durante el fin de semana. El sábado vendieron 8 tablets y 5 laptops, recaudando $34,000. El domingo vendieron 6 tablets y 7 laptops, recaudando $38,000. Para determinar el precio de cada artículo, planteamos las ecuaciones: Sea x = precio de una tablet (en pesos) Sea y = precio de una laptop (en pesos) Sistema de ecuaciones: 8x + 5y = 34,000 ... (Sábado) 6x + 7y = 38,000 ... (Domingo) Resolución por eliminación: Multiplicamos la primera ecuación por 7 y la segunda por 5: 56x + 35y = 238,000 30x + 35y = 190,000 Restamos la segunda de la primera: 26x = 48,000 x = 48,000 / 26 x ≈ 1,846.15 Sustituyendo en 8x + 5y = 34,000: 8(1,846.15) + 5y = 34,000 14,769.20 + 5y = 34,000 5y = 19,230.80 y ≈ 3,846.16 Solución: Precio de tablet: aproximadamente $1,846 Precio de laptop: aproximadamente $3,846 Este tipo de problemas son comunes en administración, contabilidad y economía, donde necesitamos determinar valores desconocidos a partir de información combinada.

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