La parábola es una curva que aparece constantemente en la naturaleza y la tecnología: la trayectoria de un proyectil, el reflector de faros automotrices, antenas parabólicas, puentes colgantes y fuentes de agua.

En geometría analítica, la parábola es un lugar geométrico: el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz).

Introducción

Lectura: Definición

DEFINICIÓN DE PARÁBOLA Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano que se mueven de tal manera que su distancia a un punto fijo F (foco) es igual a su distancia a una recta fija D (directriz). Matemáticamente: d(P, F) = d(P, D) Esta propiedad es fundamental para las aplicaciones de la parábola en óptica y acústica. ELEMENTOS PRINCIPALES 1. VÉRTICE (V) Es el punto de la parábola que está más cerca de la directriz (o del foco). Es el punto donde la parábola cambia de dirección. • Coordenadas: V(h, k) en general, V(0, 0) cuando está en el origen • Es el punto medio entre el foco y la directriz 2. FOCO (F) Es el punto fijo del cual todos los puntos de la parábola equidistan con respecto a la directriz. • Está ubicado a una distancia p del vértice • Todos los rayos paralelos al eje que llegan a la parábola se reflejan hacia el foco 3. DIRECTRIZ (D) Es la recta fija perpendicular al eje focal. • Está a una distancia p del vértice, en dirección opuesta al foco • Ecuación de una recta perpendicular al eje de la parábola 4. EJE FOCAL (o eje de simetría) Es la recta que pasa por el vértice y el foco, perpendicular a la directriz. • La parábola es simétrica respecto a este eje • Puede ser horizontal (paralelo al eje X) o vertical (paralelo al eje Y) 5. LADO RECTO (LR) Es el segmento perpendicular al eje focal que pasa por el foco y cuyos extremos están en la parábola. • Longitud: LR = |4p| • Es útil para graficar la parábola con precisión 6. PARÁMETRO (p) Es la distancia dirigida del vértice al foco (o del vértice a la directriz). • Si p > 0: la parábola abre hacia arriba (vertical) o hacia la derecha (horizontal) • Si p < 0: la parábola abre hacia abajo (vertical) o hacia la izquierda (horizontal) • El valor |p| determina qué tan "ancha" o "angosta" es la parábola ORIENTACIÓN DE LA PARÁBOLA Parábola VERTICAL: El eje focal es paralelo al eje Y (vertical) • Abre hacia arriba si p > 0 • Abre hacia abajo si p < 0 Parábola HORIZONTAL: El eje focal es paralelo al eje X (horizontal) • Abre hacia la derecha si p > 0 • Abre hacia la izquierda si p < 0

Quiz: Definición

Es el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos llamados focos

Es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro

Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco es igual a su distancia a una directriz

Lectura: Vértice origen

PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Ecuación canónica: y² = 4px Características: • Vértice: V(0, 0) • Eje focal: coincide con el eje X (ecuación: y = 0) • Foco: F(p, 0) • Directriz: x + p = 0, es decir, x = -p • Lado recto: LR = |4p| Concavidad: • Si p > 0: abre hacia la derecha • Si p < 0: abre hacia la izquierda Ejemplo: y² = 12x → 4p = 12 → p = 3 • Vértice: V(0, 0) • Foco: F(3, 0) • Directriz: x = -3 • Abre hacia la derecha PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Ecuación canónica: x² = 4py Características: • Vértice: V(0, 0) • Eje focal: coincide con el eje Y (ecuación: x = 0) • Foco: F(0, p) • Directriz: y + p = 0, es decir, y = -p • Lado recto: LR = |4p| Concavidad: • Si p > 0: abre hacia arriba • Si p < 0: abre hacia abajo Ejemplo: x² = -8y → 4p = -8 → p = -2 • Vértice: V(0, 0) • Foco: F(0, -2) • Directriz: y = 2 • Abre hacia abajo CÓMO IDENTIFICAR LA ORIENTACIÓN 1. Observa qué variable está elevada al cuadrado: • Si y² aparece → Parábola HORIZONTAL • Si x² aparece → Parábola VERTICAL 2. Observa el signo de 4p: • Horizontal: p > 0 (derecha), p < 0 (izquierda) • Vertical: p > 0 (arriba), p < 0 (abajo) FÓRMULAS RÁPIDAS Para encontrar p de la ecuación canónica: • De y² = 4px o x² = 4py, identificar el coeficiente de x o y • Igualar a 4p y despejar: p = (coeficiente)/4 APLICACIÓN EN ÓPTICA La propiedad reflectora de la parábola establece que cualquier rayo de luz paralelo al eje focal que incide en la parábola se refleja hacia el foco. Por esto se usa en: • Antenas parabólicas (concentran señales en el receptor ubicado en el foco) • Faros automotrices (la luz del foco se refleja en rayos paralelos) • Hornos solares (concentran los rayos del sol en un punto)

Quiz: Orientación

Por la variable que está elevada al cuadrado

Quiz: Foco

Quiz: Ecuación origen

Lectura: Vértice (h,k)

PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE EN V(h, k) Ecuación ordinaria: (y - k)² = 4p(x - h) Características: • Vértice: V(h, k) • Eje focal: paralelo al eje X (ecuación: y = k) • Foco: F(h + p, k) • Directriz: x - h + p = 0, es decir, x = h - p • Lado recto: LR = |4p| Concavidad: • Si p > 0: abre hacia la derecha • Si p < 0: abre hacia la izquierda Ejemplo: (y - 2)² = 8(x + 1) Reescribiendo: (y - 2)² = 8(x - (-1)) • h = -1, k = 2 → Vértice: V(-1, 2) • 4p = 8 → p = 2 • Foco: F(-1 + 2, 2) = F(1, 2) • Directriz: x = -1 - 2 = -3 • Abre hacia la derecha PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE EN V(h, k) Ecuación ordinaria: (x - h)² = 4p(y - k) Características: • Vértice: V(h, k) • Eje focal: paralelo al eje Y (ecuación: x = h) • Foco: F(h, k + p) • Directriz: y - k + p = 0, es decir, y = k - p • Lado recto: LR = |4p| Concavidad: • Si p > 0: abre hacia arriba • Si p < 0: abre hacia abajo Ejemplo: (x - 3)² = -12(y - 1) • h = 3, k = 1 → Vértice: V(3, 1) • 4p = -12 → p = -3 • Foco: F(3, 1 + (-3)) = F(3, -2) • Directriz: y = 1 - (-3) = 4 • Abre hacia abajo CÓMO IDENTIFICAR h Y k En la forma ordinaria (y - k)² = 4p(x - h) o (x - h)² = 4p(y - k): Cuidado con los signos: • (y - k) → si es (y + 3), entonces k = -3 • (x - h) → si es (x - 2), entonces h = 2 TRASLACIÓN DE EJES La ecuación con vértice en V(h, k) es una traslación de la ecuación con vértice en el origen: • Se reemplaza x por (x - h) • Se reemplaza y por (y - k) Esto mueve el vértice de (0, 0) a (h, k) sin cambiar la forma de la parábola.

Quiz: Vértice (h,k)

Emparejar: Elementos

Lectura: Forma general

FORMA GENERAL DE LA PARÁBOLA Al expandir las formas ordinarias, obtenemos las formas generales: PARÁBOLA HORIZONTAL: Cy² + Dx + Ey + F = 0 Característica clave: Solo y está elevado al cuadrado. Para identificar: • Aparece y² pero NO aparece x² • El eje focal es paralelo al eje X PARÁBOLA VERTICAL: Ax² + Dx + Ey + F = 0 Característica clave: Solo x está elevado al cuadrado. Para identificar: • Aparece x² pero NO aparece y² • El eje focal es paralelo al eje Y CONVERSIÓN DE FORMA GENERAL A ORDINARIA El proceso es similar a completar el trinomio cuadrado perfecto en circunferencias: Para parábola vertical Ax² + Dx + Ey + F = 0: Paso 1: Agrupar términos en x A(x² + (D/A)x) + Ey + F = 0 Paso 2: Completar el TCP en x A(x² + (D/A)x + (D/2A)²) + Ey + F - A(D/2A)² = 0 Paso 3: Factorizar y despejar A(x + D/2A)² = -Ey - F + D²/4A (x + D/2A)² = (-E/A)(y + ...) Paso 4: Identificar h, k y p EJEMPLO COMPLETO Convertir x² - 4x - 8y + 12 = 0 a forma ordinaria: Paso 1: Agrupar (x² - 4x) = 8y - 12 Paso 2: Completar TCP (x² - 4x + 4) = 8y - 12 + 4 (x² - 4x + 4) = 8y - 8 Paso 3: Factorizar (x - 2)² = 8y - 8 (x - 2)² = 8(y - 1) Paso 4: Identificar elementos Forma: (x - h)² = 4p(y - k) • h = 2, k = 1 → Vértice: V(2, 1) • 4p = 8 → p = 2 • Foco: F(2, 1 + 2) = F(2, 3) • Directriz: y = 1 - 2 = -1 • Abre hacia arriba (p > 0) DIFERENCIA CLAVE CON CIRCUNFERENCIA Circunferencia: x² Y y² ambos presentes con coeficientes iguales Parábola: SOLO x² o SOLO y² (no ambos) Elipse/Hipérbola: x² Y y² ambos presentes con coeficientes diferentes

Quiz: Identificar tipo

Agrupar los términos de la variable que está al cuadrado

Factorizar el lado derecho para obtener la forma 4p(x - h) o 4p(y - k)

Factorizar el trinomio como un binomio al cuadrado

Identificar el vértice (h, k) y el parámetro p

Ordenar: Convertir

Quiz múltiple: Características

El vértice es el punto medio entre el foco y la directriz

Si p > 0, una parábola vertical abre hacia arriba

Quiz: Concavidad

Quiz: Calcular p

Quiz: Foco V(h,k)

Un proyectil es lanzado desde el suelo. Considerando el punto de lanzamiento como origen y despreciando la resistencia del aire, la trayectoria del proyectil sigue una parábola vertical. Supongamos que la ecuación de la trayectoria es: x² = -40(y - 10) Donde x e y se miden en metros. Análisis de la ecuación: Forma: (x - h)² = 4p(y - k) → (x - 0)² = -40(y - 10) Elementos: • h = 0, k = 10 → Vértice: V(0, 10) • 4p = -40 → p = -10 • Parábola vertical que abre hacia abajo (p < 0) Interpretación física: • El vértice V(0, 10) representa el punto más alto de la trayectoria: 10 metros de altura • El proyectil alcanza su altura máxima en la posición horizontal x = 0 • Como abre hacia abajo, modela correctamente la caída del proyectil Alcance horizontal: El proyectil regresa al suelo cuando y = 0: x² = -40(0 - 10) x² = 400 x = ±20 El proyectil impacta el suelo en x = -20 y x = 20 metros (por simetría). Alcance total: 40 metros Aplicaciones: Este modelo parabólico se usa en: • Balística (trayectoria de balas y misiles) • Deportes (lanzamiento de jabalina, tiro parabólico en basketball) • Ingeniería civil (diseño de puentes colgantes y arcos) • Fuentes ornamentales (chorro de agua)

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