Las fórmulas de suma y resta de ángulos nos permiten calcular el seno, coseno y tangente de la suma o resta de dos ángulos conocidos.

Estas fórmulas son fundamentales para encontrar valores exactos de ángulos como 15°, 75°, 105° y muchos otros que no están en la tabla de ángulos notables.

💡 Estas fórmulas NO son distributivas: sen(A+B) ≠ sen(A) + sen(B).

Panorama

Lectura central

Las fórmulas de suma y resta son identidades que expresan funciones trigonométricas de la suma o resta de dos ángulos en términos de las funciones de cada ángulo por separado. FÓRMULAS DE SUMA Seno de la suma: sen(A + B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B) Coseno de la suma: cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sen(A)sen(B) Tangente de la suma: tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B)) FÓRMULAS DE RESTA Seno de la resta: sen(A - B) = sen(A)cos(B) - cos(A)sen(B) Coseno de la resta: cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B) Tangente de la resta: tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B)) OBSERVACIONES IMPORTANTES 1. En seno, la suma tiene + y la resta tiene - 2. En coseno, la suma tiene - y la resta tiene + (invertido) 3. En tangente de suma, el denominador tiene -; en resta tiene + 4. sen(A+B) ≠ sen(A) + sen(B) (no es distributivo) EJEMPLO 1: Calcular sen(75°) 75° = 45° + 30° sen(75°) = sen(45° + 30°) = sen(45°)cos(30°) + cos(45°)sen(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4 EJEMPLO 2: Calcular cos(15°) 15° = 45° - 30° cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sen(45°)sen(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4 FÓRMULAS DE ÁNGULO DOBLE Son casos especiales cuando A = B: sen(2A) = 2sen(A)cos(A) cos(2A) = cos²(A) - sen²(A) También: cos(2A) = 2cos²(A) - 1 = 1 - 2sen²(A) tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan²(A)) EJEMPLO 3: Si sen(θ) = 3/5 y cos(θ) = 4/5, calcular sen(2θ) sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) = 2 × (3/5) × (4/5) = 2 × 12/25 = 24/25 APLICACIÓN: Verificar identidades Ejemplo: Verificar que sen(A+B) + sen(A-B) = 2sen(A)cos(B) Lado izquierdo: sen(A+B) + sen(A-B) = [sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B)] + [sen(A)cos(B) - cos(A)sen(B)] = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B) + sen(A)cos(B) - cos(A)sen(B) = 2sen(A)cos(B) Lado derecho: 2sen(A)cos(B) ✓

Nota: En coseno de suma hay signo -, en coseno de resta hay signo +.

Fórmulas clave

No, porque sen(90°) = 1, pero sen(30°) + sen(60°) ≠ 1

En cos(A+B), el producto sen(A)sen(B) es negativo

cos(A-B) tiene el mismo signo que cos(A+B)

Sustituir valores notables: (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)

Aplicar fórmula: sen(45° + 30°) = sen(45°)cos(30°) + cos(45°)sen(30°)

Expresar 75° como suma de ángulos notables: 45° + 30°

Vamos a calcular el valor exacto de tan(15°) usando tan(15°) = tan(45° - 30°). Usamos la fórmula de resta para tangente: tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B)) Paso 1: Identificar valores conocidos: tan(45°) = 1 tan(30°) = √3/3 Paso 2: Aplicar fórmula: tan(15°) = (1 - √3/3) / (1 + 1 × √3/3) = (1 - √3/3) / (1 + √3/3) Paso 3: Simplificar numerador y denominador: = ((3 - √3)/3) / ((3 + √3)/3) = (3 - √3) / (3 + √3) Paso 4: Racionalizar multiplicando por conjugado: = (3 - √3)(3 - √3) / ((3 + √3)(3 - √3)) = (9 - 6√3 + 3) / (9 - 3) = (12 - 6√3) / 6 = 2 - √3 Por lo tanto, tan(15°) = 2 - √3 ≈ 0.268.

¡Excelente! Has dominado las fórmulas de suma y resta de ángulos, herramientas poderosas para calcular valores exactos y simplificar expresiones.

🎯 Fórmulas esenciales: Suma: • sen(A+B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B) • cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sen(A)sen(B) Resta: • sen(A-B) = sen(A)cos(B) - cos(A)sen(B) • cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B) Ángulo doble: • sen(2A) = 2sen(A)cos(A) • cos(2A) = cos²(A) - sen²(A) Nota: En coseno, suma tiene - y resta tiene +

Estas fórmulas te permiten calcular ángulos como 15°, 75°, 105° y verificar identidades complejas.

Fórmulas de suma y resta de ángulos

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